已知数列{an}中a1=1，an+1=an2an+1（n∈N+）．（1）求证：数...

Question

已知数列{an}中a1=1，an+1=an2an+1（n∈N+）． （1）求证：数列{1an}为等差数列； （2）设bn=an•an+1（n∈N+），数列{bn}的前n项和为Sn，求满足Sn＞10052012的最小正整数n．

Answer 1

（1）证明：由a1=1与an+1=an2an+1得an≠0，1an+1=2an+1an=2+1an，
所以对∀n∈N+，1an+1-1an=2为常数，
故{1an}为等差数列；
（2）解：由（1）得1an=1a1+2(n-1)=2n-1，
bn=an•an+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)，
所以Sn=b1+b2+…+bn=12(1-13)+12(13-15)+…+12(12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)=n2n+1，
由Sn＞10052012即n2n+1＞10052012，得n＞10052=50212，
所以满足Sn＞10052012的最小正整数n=503．