无穷小代换的常用公式是？

Question

如题所述

Answer 1

若两个无穷小之比的极限为1，则等价无穷小代换常用公式：

arcsinx ~ x；tanx ~ x；

e^x-1 ~ x；ln(x+1) ~ x；

arctanx ~ x；1-cosx ~ (x^2)/2；

tanx-sinx ~ (x^3)/2；(1+bx)^a-1 ~ abx；

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Answer 2

无穷小代换是微积分中的一个重要概念，主要用于计算极限、导数和积分等问题。无穷小代换通常涉及到一些基本的无穷小量，它们的极限性质在数学分析中有着广泛的应用。以下是一些常用的无穷小代换公式：
1. 当 \( x \to 0 \) 时：
\[ \sin x \sim x \]
\[ \tan x \sim x \]
\[ 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} \]
\[ \ln(1 + x) \sim x \]
\[ e^x - 1 \sim x \]
\[ (1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x \] （其中 \( \alpha \) 是任意实数）
2. 当 \( x \to 0^+ \)（即 \( x \) 从正方向趋近于 0）时：
\[ \sqrt{1 + x} - 1 \sim \frac{x}{2} \]
\[ \sqrt[n]{1 + x} - 1 \sim \frac{x}{n} \] （其中 \( n \) 是正整数）
3. 当 \( x \to \infty \) 时：
\[ \ln(x) \sim x \]
\[ a^x \sim 0 \] （其中 \( 0 < a < 1 \)）
4. 当 \( x \to 0^+ \) 且 \( x \) 是任意正无穷小量时：
\[ \ln(x) \sim -\infty \]
\[ a^x \sim 1 \] （其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)）
无穷小代换的使用通常基于泰勒公式（Taylor's theorem），它提供了一种将复杂函数近似为其在某一点的幂级数展开的方法。通过这种方式，我们可以将难以直接计算的表达式转换为更容易处理的形式。在使用无穷小代换时，需要注意代换的准确性以及代换适用的条件，以确保计算结果的正确性。