深入探索贝塞尔曲线与B样条曲线的奥秘
贝塞尔曲线，作为数学界的瑰宝，以其独特的控制点决定形状和阶次的特性脱颖而出。n+1个控制点精准定义了一条曲线的阶次，它对连续性的要求使得曲线更加流畅。贝塞尔曲线的特性亮点在于：起点和终点的切线保持，几何不变性，以及至少三阶曲率的连续性，这赋予了它在路径规划中的广泛应用。
B样条曲线，是对贝塞尔曲线的改良，尤其在灵活性上更胜一筹。它去除了顶点数的限制，使得设计更加自由。均匀和准均匀B样条进一步扩展了其应用领域，保持了形状周期性，且性质保持一致。曲线的平滑度取决于次数，准均匀三次B样条是最常见的选择，因为它提供了恰到好处的平滑效果。
贝塞尔曲线的魅力在于其算法的递归结构，通过控制点的逐级组合，形成具有阶次特征的曲线。计算过程通过De Casteljau算法清晰呈现，如图3所示，六个控制点的巧妙组合便生成了一条独特的贝塞尔曲线。这些特性包括凸包性、变异递减性、全局性以及仿射不变性，每一点都影响着曲线的最终形态。
在无人车路径规划中，贝塞尔曲线更是大显身手。例如，通过计算
p_t_1至pppp_t的贝塞尔曲线，我们可以分次迭代t值，生成一次、二次或三次曲线，如P_t_1至P_t_5。三次贝塞尔曲线如m6与m7的线性连接，为避障提供了关键路径。动态GIF的生成通过MakeGif函数，直观地展示了整个过程。
路径规划示意图中，清晰地展示了道路背景、车道线、起点、障碍物点和目标点，以及贝塞尔曲线如何巧妙地避开这些障碍，实现平滑路径和车辆的曲线行驶。它的优点在于通过控制点的灵活调整，轻松实现路径的精细化控制。
深入理解贝塞尔曲线，不仅在于其系数的1阶导数保证的连续拼接，还在于它由数据点（起终点）和控制点共同构建的分阶特性。图形编辑工具让这些特性更加直观，MATLAB示例则展示了如何通过增加点数来调整曲线的形状。对于B样条曲线和贝塞尔曲线的深入学习，EC果酱团队和掘金平台上有丰富的文章资源，如CSDN博客上的
这些资源将帮助你全方位掌握贝塞尔曲线的精髓，从而在实际应用中游刃有余。