闭区间上的连续函数，必然有最大值和最小值。这是有定理的。开区间（含半开区间）上的连续函数就不一定有最大值和最小值了。区间内的非连续函数也不一定有最大值和最小值。
函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。
对于这种现象，说因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
扩展资料
闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在I上是一致连续的。
证明：利用有限覆盖定理：如果H是闭区间[a,b]的一个无限开覆盖，那么能从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]。详细证法参考相应词条。
参考资料来源：百度百科-连续函数
当函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数时，存在c属于[a,b]，d属于[a,b],有f(c)≤f(x)≤f(d),x∈[a,b]成立。
在数学分析中，极值定理说明如果实函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数，则它一定存在至少一个的最大值和最小值，即[a,b]区间内至少存在两点存在x1和x2，对任意
有界闭区域上的二元连续函数也有类似于一元函数的最值定理。同理，根据有界性定理，可得在闭区间[a,b]内的连续函数f在该区间上有界，即存在实数m和M，使得：m≤f(x)≤M。
这表明极值定理强化了有界性定理，它表明函数不仅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。
扩展资料：
证明最值定理的基本步骤为：
1、证明有界性定理。
2、寻找一个序列，它的像收敛于f(x)的最小上界。
3、证明存在一个子序列，它收敛于定义域内的一个点。
4、用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界。
5、同理证明最大下界。
设闭区间是[a,b],连续函数为f(x).
根据有界性定理，函数f(x)所有取值得到的集合，必然是有界数集，所以必有上确界和下确界。
然后考虑不等式a≤f(xn)≤a+1/n
其中{xn}是有界数列，根据Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子数列{xnk}
使得其极限是t,且t∈[a,b]
且有a≤f(xnk)≤a+1/nk, k=1,2,3,⋯
令k→∞，由极限的夹逼性与f(x)在点t的连续性，得到
f(t)=a
则f(x)在[a,b]取得最小值。
类似的，可以证明有最大值。本回答被提问者和网友采纳