高中解析几何，求解，过程……感谢

Question

如题所述

Answer 1

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3

（1）若原点到直线x+y-b=0的距离为√2，求椭圆方程；

（2）设过椭圆的右焦点且倾角为45度的直线L和椭圆交于A,B二点，对于椭圆上任一点M总存在实数λ, μ，使等式向量OM=λOA+μOB成立，求λ^2+μ^2

(1)解析：∵椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3

∴2a^2=3c^2 *

∵原点到直线x+y-b=0的距离为√2，∴|-b|/√2=√2==>b=2

∴a^2-c^2=4

与*式联立解得a^2=12,c^2=8==>b^2=4

∴椭圆方程：x^2/12+y^2/4=1

（2）解析：设椭圆上任一点M(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2)

∵椭圆方程：x^2+3y^2=12

直线L方程：y=x-2√2==>y^2=x^2-4√2x+8

代入椭圆得4x^2-12√2x+12=0

由韦达定理得x1+x2=3√2，x1x2=3

y1y2=(x1-2√2) (x2-2√2)=x1x2-2√2(x1+x2)+8=-1

由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM有且只有一对实数λ,μ，使得等式向量OM=λOA+μOB成立

∴x=λx1+μx2，y=λy1+μy2

代入椭圆x^2+3y^2=12

(λx1+μx2)^2+3(λy1+μy2)^2=12

整理得λ^2(x1^2+3y1^2)+μ^2(x2^2+3y2^2)+2λμ(x1x2+3y1y2)=12

x1x2+3y1y2=0

∵A﹑B在椭圆上，∴x1^2+3y1^2=x2^2+3y2^2=12

∴12λ^2+12μ^2=12

∴λ^2+μ^2=1追问

您解错了，第一题的结论不能用到第二题上。