本题证明方法较多。
可以用齐次线性方程组，可以向量等角度考虑去证明。
【证明】
对矩阵B按列分块，记B=（β1，β2，...，βn），则
AB=A（β1，β2，...，βn）=（Aβ1，Aβ2，...，Aβn）=（0，0，...，0）
于是Aβj=0，（j=1，2，...，n）
即B的列向量均是齐次线性方程组Ax=0的解，由于方程组Ax=0的解向量的秩为 n-r（A），所以
r（β1，β2，...，βn）≤ n-r（A）
又秩r（β1，β2，...，βn）=r（B），从而有r（A）+r（B）≤ n
【评注】
关于AB=0，应当有两个重要思路，
1、B的列向量是方程组Ax=0的解
2、秩r（A）+r（B）≤n
若本题A，B不是方阵，A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，为一般情况下的矩阵时，那又该如何证明呢？
第2问 A²-E=0，即（A-E）（A+E）=0 ，可以用评注的第1个解题思路，齐次线性方程组的角度来证明。
试试看。
newmanhero 2015年3月9日10:39:30
希望对你有所帮助，望采纳。追问
可以用齐次线性方程组，可以向量等角度考虑去证明。
【证明】
对矩阵B按列分块，记B=（β1，β2，...，βn），则
AB=A（β1，β2，...，βn）=（Aβ1，Aβ2，...，Aβn）=（0，0，...，0）
于是Aβj=0，（j=1，2，...，n）
即B的列向量均是齐次线性方程组Ax=0的解，由于方程组Ax=0的解向量的秩为 n-r（A），所以
r（β1，β2，...，βn）≤ n-r（A）
又秩r（β1，β2，...，βn）=r（B），从而有r（A）+r（B）≤ n
【评注】
关于AB=0，应当有两个重要思路，
1、B的列向量是方程组Ax=0的解
2、秩r（A）+r（B）≤n
若本题A，B不是方阵，A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，为一般情况下的矩阵时，那又该如何证明呢？
第2问 A²-E=0，即（A-E）（A+E）=0 ，可以用评注的第1个解题思路，齐次线性方程组的角度来证明。
试试看。
newmanhero 2015年3月9日10:39:30
希望对你有所帮助，望采纳。追问
第二问呢？
追答（A-E）（A+E）=0 ，则根据第一问知，r（A-E）+r（A+E）≤n
又因为 r（A-E）+r（A+E）≥r（(E-A)+r(E+A)）=r（2E）=r（E）=n
所以 r（A-E）+r（A+E）=n
这么简单，给你解题方法了，还不自己动手做做？
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