齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是：r(A)<n，即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。
由此可得推论：齐次线性方程组AX=0仅有零解的充要条件是r(A)=n。
齐次线性方程组解的存在性
1、若n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组AX=0的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一零解。
2、若m个方程n个未知量构成的齐次线性方程组，若r(A)= n，即A的列向量组线性无关，则方程组有唯一零解；若r(A)= s<n，即A的列向量组线性相关，则方程组有有非零解，且有n-s个线性无关解。
扩展资料：
齐次线性方程组解的性质
1、若x是齐次线性方程组AX=0的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。
2、若x1,x2是齐次线性方程组AX=0的两个解，则x1+x2也是它的解。
3、对齐次线性方程组AX=0，若r(A)=r<n，则AX=0存在基础解系，且基础解系所含向量的个数为n-r，即其解空间的维数为n-r。
4、齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。
参考资料来源：百度百科-齐次线性方程组