线性回归及其经典假定

Question

如题所述

Answer 1

探索数据世界中的精密工具——线性回归，它凭借最小二乘法揭示变量间的函数关系。模型的简洁表达式是：Y = β0 + β1X1 + β2X2...，其中的β通过最优线性无偏估计(OLS)得以确定，是统计分析中的黄金标准。然而，这个强大工具的背后，隐藏着五个关键假定，它们共同塑造了模型的精准度和可靠性：

线性关系: 首先，我们依赖散点图来检验变量之间是否存在明显的线性趋势。
独立性与无共线性: 自变量之间必须独立，且不存在完全共线性，以确保模型的稳健性。
零条件均值: 干扰项的条件期望为零，这是无偏估计的基石，避免了内生性问题的困扰。
异方差性和无自相关: 数据的误差项需满足这两个假设，以确保统计检验的可靠性。
正态分布: 尽管在大样本情况下这通常不太重要，但在小样本研究中，正态分布假定对于推断至关重要。

特别要强调的是，零条件均值假定至关重要，它关乎估计的无偏性。一旦内生性问题出现，如以教育程度(EDU)和收入(INC)为例，智商(IQ)作为内生变量，可能会导致估计偏差。当这个假设不成立，比如IQ未能纳入模型时，回归关系就变得复杂：

当EDU增加1个单位，而IQ保持不变，模型预测的INC变化为β1 加上由于IQ未被控制而带来的误差项差异。

遗漏了IQ这样的重要变量，会导致教育对收入影响的γ1 估计出现偏误，因为它实际上反映的是相关性，而非因果关系。内生性问题还可能源于遗漏变量、测量误差，甚至自变量和因变量之间的互为因果关系。深入理解这些概念，可以参考邱嘉平老师在《因果推断实用计量方法》中的详尽解析。

线性回归是一个强大的工具，但理解和正确应用它的前提条件同样关键。只有当这些假定得到满足，我们才能从数据中提取出有价值的洞察，准确地揭示变量间的因果关系。