关于考研高数，高数高手来解答。

Question

函数在a点可导，能否得到它在a点的一个领域内连续？为什么？
函数在a点可导，能否得到它的导函数在a点连续？为什么？

Answer 1

看到你是考研的，怕给以上的是不全面的回答误导了，我就回一下吧。

你问的两个问题都不对的。

1. 狄利克雷函数D(x)是一个处处不可导，处处不连续的函数。

设f(x)=x²D（x），由D(x)的有界性知f(x)=x²D(x)仅在x=0可导。
当x0=0时 x趋于0， f'(0)=limxD(x)=0, f(x)=x²D（x）在x=0可导
当x0≠0时 由归结原理可得f(x)在x=x0处不连续，且f(x)在x=x0处不可导。

故函数在一点可导，只能得到在这点连续，不能得到在这点某一领域连续。

2. 可导必连续，连续不一定可导。
函数在a点可导，不能得到它的导函数在a点连续。
函数在a点二阶可导，才能得到它的导函数在a点连续。

Answer 2

本人高数算不上高手，但是也不是菜鸟！
复习就看你是数一还是数二还是数三了，一般这么问的我估计是数一，本人也是数一。首先必须有一本复习全书，不管是谁编的，一般市场上李永乐和蔡子华的比较受欢迎，不管谁的，必须有一本，然后就是课本必须好好认真的看每块内容，看完了后再去做复习全书上的题，至于真题，刚开始就别逞能了，看了也不会，等到系统的复习至少两遍后再去做真题（即使你有真题，最好也别做，这样会很打击你的，一般是不会的，当然除非你很强）。
再者，有精力有时间的话报个班也是不错的选择，当然本人不支持报数学和英语（因为我不相信你上个几天课后就能在数学和英语上突飞猛进），当然老师会给些解题技巧和思路，这是很好的!
最后就是练习了， 理工科特别是数学必须练习，把自己做过的错题反复的做，当然最真题收获最大了
（就这么多了吧）

Answer 3

第一点是正确的，即函数在a点可导，它在a点的一个领域内连续。

因为在a点可导则lim[△x->0][f(x+△x)-f(x)]/△x存在

即lim[△x->0]f(x+△x)-f(x)=0

则在a点的一个领域(x+△x,x-△x)中连续。

第二点是不正确的

这个反例一下子举不出来，练习题我看到过，虽然倒数存在，但是导函数不连续的。

Answer 4

第一问，可以。可导必连续，连续不一定可导。a点可导，在a点的一个适当小的领域内必连续。
第二问，不能。你可以找找反例，翻翻书应该有的。

Answer 5

第一问 一元函数是可导必连续，但是二元函数和多元函数就不是这种情况了 可导和连续就没有什么必然的关系了。
第二问 错误