f(x)在x=x0处可导,g(x)在x=x0处不可导,则F(X)=f(x)±g(x)在x=x0处是否可导

Question

为什么?可以确定么?

Answer 1

可以确定，不可导。
反证法。以F(x)=f(x)+g(x)为例。
如果可导，由导数定义：lim(x->x0) [F(x)-F(x0)]/(x-x0) 存在。但是，
lim(x->x0) [F(x)-F(x0)]/(x-x0)
=lim(x->x0) [f(x)+g(x)-f(x0)-g(x0)]/(x-x0)
=lim(x->x0) [f(x)-f(x0)]/(x-x0) + lim(x->x0) [g(x)-g(x0)]/(x-x0)
因为 f(x) 在 x0 处可导，而 g(x) 在 x0 处不可导，所以上式中，第一个极限存在而第二个极限不存在，因此 lim(x->x0) [F(x)-F(x0)]/(x-x0) 不存在，这与 F(x) 在 x0 处可导矛盾。因此 F(x) 不可导。

Answer 2

都不可导。以f（x）-g（x）为例

Answer 3

不可导的