小学一年级数学问题

Question

如题所述

Answer 1

1. 制作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c。将它们拼成一个多边形，使得D、E、F在一条直线上。过C点作AC的延长线，交DF于点P。
2. 由于D、E、F在一条直线上，且直角三角形RtΔGEF与RtΔEBD全等，因此∠EGF = ∠BED。又因为∠EGF + ∠GEF = 90°，所以∠BED + ∠GEF = 90°。从而得到∠BEG = 180° - 90° = 90°。
3. 由于AB = BE = EG = GA = c，因此ABEG是一个边长为c的正方形。因此∠ABC + ∠CBE = 90°。由于直角三角形RtΔABC与RtΔEBD全等，所以∠ABC = ∠EBD。因此∠EBD + ∠CBE = 90°，即∠CBD = 90°。
4. 由于∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a，因此BDPC是一个边长为a的正方形。同理，HPFG是一个边长为b的正方形。设多边形GHCBE的面积为S，则有S = 1/2 * BC * EG = 1/2 * a * c。因此BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S。由此可推出：a² + b² = c²。
5. 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b > a），斜边长为c。再做一个边长为c的正方形。将它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上。过点Q作QP∥BC，交AC于点P。过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N。由于∠BCA = 90°，QP∥BC，因此∠MPC = 90°。由于BM⊥PQ，因此∠BMP = 90°。因此BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。由于∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，因此∠QBM = ∠ABC。又因为∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，因此直角三角形RtΔBMQ与RtΔBCA全等。同理可证直角三角形RtΔQNF与RtΔAEF全等。因此a² + b² = c²。
6. 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b > a），斜边长为c。再做一个边长为c的正方形。将它们拼成如图所示的多边形。分别以CF、AE为边长做正方形FCJI和AEIG。由于EF = DF - DE = b - a，EI = b，因此FI = a。因此G、I、J在同一直线上。由于CJ = CF = a，CB = CD = c，∠CJB = ∠CFD = 90°，因此直角三角形RtΔCJB与RtΔCFD全等。同理可证直角三角形RtΔABG与RtΔADE全等。因此∠ABG = ∠BCJ。由于∠BCJ + ∠CBJ = 90°，因此∠ABG + ∠CBJ = 90°。由于∠ABC = 90°，因此G、B、I、J在同一直线上。因此a² + b² = c²。
7. 作三个边长分别为a、b、c的正方形，将它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD。过C点作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L。由于AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，因此ΔFAB与ΔGAD全等。由于ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，因此矩形ADLM的面积 = 1/2 * (AF + EG) * DE。同理可证矩形MLEB的面积 = 1/2 * (BF + CI) * EI。由于正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积，因此即a² + b² = c²。
8. 在欧几里得的《几何原本》一书中，勾股定理的证明如下：设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线将正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。根据辅助定理，如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积。根据这些定理，可以证明：设△ABC为一直角三角形，其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。由于∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是线性对应的，同理可证B、A和H。由于∠CBD和∠FBA皆为直角，因此∠ABD等于∠FBC。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD必须相等于△FBC。因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC²。把这两个结果相加，AB² + AC² = BD×BK + KL×KC。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC。由于CBDE是个正方形，因此AB² + AC² = BC²。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。