第（1）题
α3=α1+2α2，显然满足列向量线性相关
从而必然有一个特征值是0
由于有3个不同特征值，则其余两个特征值，必然都不为0
从而有2个非零特征值λ2，λ3，从而A与对角阵diag(0,λ2,λ3)相似
从而r(A)=r(diag(0,λ2,λ3))=2，即A的秩等于2。
第（2）题
β＝(α1，α2，α3)(1，1，1)T，(1，1，1)为一个特解，A的秩为2，齐次方程Ax＝0的解集有一个线性无关的向量
α1＋2α2-α3＝A(1，2，-1)＝0(1，2，-1)，则基础解系为(1，2，-1)
通解为k(1，2，-1)＋(1，1，1)，k为任意常数
扩展资料：
齐次线性方程组：常数项全部为零的线性方程组。如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。
定理1
齐次线性方程组
有非零解的充要条件是r(A)<n。即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。
推论
齐次线性方程组
仅有零解的充要条件是r(A)=n。
齐次线性方程组解的性质
定理2 若x是齐次线性方程组
的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。
定理3 若x1,x2是齐次线性方程组
的两个解，则x1+x2也是它的解。
定理4 对齐次线性方程组
存在基础解系，且基础解系所含向量的个数为n-r，即其解空间的维数为n-r。
参考资料：百度百科-齐次线性方程
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