极限问题

Question

如题所述

Answer 1

当 x 趋向于负无穷时，即 x → -∞，我们可以求出 lim(x → -∞) (x * e^x) 的极限。
可以使用洛必达法则来计算这个极限。洛必达法则可以用于计算形如 "0/0" 或 "∞/∞" 的不定式极限。
我们可以将 lim(x → -∞) (x * e^x) 改写为 lim(x → -∞) (e^x / (1/x))，然后分别对分子和分母求导。
对 e^x 求导得到 e^x，对 1/x 求导得到 -1/x^2。然后我们可以计算导数的极限：
lim(x → -∞) e^x = e^-∞ = 0
lim(x → -∞) (1/x^2) = (1 / (∞^2)) = 0
根据洛必达法则，我们可以得到：
lim(x → -∞) (x * e^x) = lim(x → -∞) (e^x / (1/x)) = 0 / 0
再次应用洛必达法则，对新的不定式进行求导：
lim(x → -∞) (e^x / (1/x)) = lim(x → -∞) (e^x / (-1/x^2))
同样，对 e^x 和 -1/x^2 求导，并计算导数的极限：
lim(x → -∞) e^x = e^-∞ = 0
lim(x → -∞) (-1/x^2) = (-1 / (∞^2)) = 0
继续应用洛必达法则，我们得到：
lim(x → -∞) (e^x / (-1/x^2)) = 0 / 0
再次进行求导：
lim(x → -∞) (e^x / (-1/x^2)) = lim(x → -∞) (e^x / (2/x^3))
继续计算导数的极限：
lim(x → -∞) e^x = e^-∞ = 0
lim(x → -∞) (2/x^3) = (2 / (∞^3)) = 0
应用洛必达法则，我们会得到：
lim(x → -∞) (e^x / (2/x^3)) = 0 / 0
我们可以继续应用洛必达法则，一直重复这个过程，直到我们得到一个确定的结果。
在这个特定的例子中，通过重复应用洛必达法则，我们可以得出极限为：
lim(x → -∞) (x * e^x) = 0
因此，当 x 趋向于负无穷时，x * e^x 的极限为 0。