不用导数,证明:经过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上一点p(x1,y1)的切线方程为x1x/a^2-y1y/b^2=1

Question

不用导数,证明:经过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点p(x1,y1)的切线方程为x1x/a^2+y1y/b^2=1
因为按课本教材编排做此习题时还没学导数

Answer 1

思路为：
设切线方程的斜率为k，则切线方程为：
y-y1=k(x-x1).
将切线方程代入到双曲线方程中，得到含有k关于x的一元二次方程，因为是切线，所以该方程有唯一解，所以可以判别式=0，来求出k的表达式，回代至直线方程即可。

Answer 2

当切线的斜率存在时，设过点的切线方程为y=kx+m----③式
联立方程组x^2/a^2+y^2/b^2=1 ; y=kx+m
消y得一个关于x含字母的一元二次方程-----①式
令△=0，
化简，得

a^2k^2-m^2+b^2=0----②式
对①式，由韦达定理

x1+x2=2Xp=2x1(因为切线，所以横坐标一样)=。。。=-2ka^2/m
∴x1=-ka^2/m----④式,
∴k=-x1m/a^2
将4式带入3式得y1=b^2/m
∴m=b^2y1----5式
∴y=kx+m=-x1m/a^2+m,带入5式即得证

当切线的斜率不存在时，过点的切线方程显然满足上式
综上，即得证
望采纳哦。。。手动输入数学字符真够吃力的，去年高考好歹也有131，应该是对的~本回答被网友采纳