若X的平方加Y平方＝1，求Xy÷（X十y十2）最小值和最大值

Question

如题所述

Answer 1

条件式为单位圆，可设
x=cosθ，y=sinθ.
再设cosθ+sinθ=t∈[-√2,√2]，
则xy=(t²-1)/2.
∴z=xy/(x+y+2)
=[(t²-1)/2]/(t+2)
即t²-2zt-(4z+1)=0.
上式判别式不小于0，故
△=4z²+4(4z+1)≥0，
解得，z≥-2+√3，或z≤-2-√3.
故所求最小值为-2+√3，
此时t=-2+√3∈[-√2，√2];
z≤-2-√3不∈[-√2，√2]，
z=-2-√3时，t=-2-√3，
但-2-√3不∈[-√2，√2]，
即不存在最大值.
综上知原式只存在最小值，
不存在最大值!