如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A（﹣2 ，0）、B（2 ，0）、C（0 ，﹣1）三点，过坐标原点O的直线y=kx

Question

如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A（﹣2 ，0）、B（2 ，0）、C（0 ，﹣1）三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线 交于M、N两点．分别过点C，D（0，﹣2）作平行于x轴的直线 l 1 、 l 2 ．（1）求抛物线对应二次函数的解析式；（2）求证以ON为直径的圆与直线 l 1 相切；（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线 l 2 的距离之和等于线段MN的长．

Answer 1

解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为：y=ax 2 +bx+c， 由 ， 解得：a= ，b=0，c=﹣1， 所以y= x 2 ﹣1； （2）设M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ）， 因为点M、N在抛物线上， 所以y 1 = x 1 2 ﹣1，y 2 = x 2 2 ﹣1， 所以x 2 2 =4（y 2 +1）； 又ON 2 =x 2 2 +y 2 2 =4（y 2 +1）+y 2 2 =（y 2 +2） 2 ， 所以ON= ， 又因为y 2 ≥﹣l， 所以ON=2+y 2 ． 设ON的中点为E，分别过点N、E向直线 l 1 作垂线， 垂足为P、F， 则EF= ， 所以ON=2EF， 即ON的中点到直线 l 1 的距离等于ON长度的一半， 所以以ON为直径的圆与 l 1 相切； （3）过点M作MH⊥NP交NP于点H， 则MN 2 =MH 2 +NH 2 =（x 2 ﹣x 1 ） 2 +（y 2 ﹣y 1 ）， 又y 1 =kx 1， y 2 =kx 2 ， 所以（y 2 ﹣y 1 ） 2 =k 2 （x 2 ﹣x 1 ） 2 ， 所以MN 2 =（1+k 2 ）（x 2 ﹣x 1 ） 2 ； 又因为点M 、N 既在y=kx的图象上，又在抛物线上， 所以kx= x 2 ﹣1，即x 2 ﹣4kx﹣4=0， 所以x= ， 所以（x 2 ﹣x 1 ） 2 =16（1+k 2 ）， 所以MN 2 =16（1+k 2 ） 2 ， ∴MN=4（1+k 2 ）， 延长NP交 l 2 于点Q， 过点M作MS⊥ l 2 交 l 2 于点S， 则MS+NQ=y 1 +2+y 2 +2 = x 1 2 ﹣1+ x 2 2 ﹣1+4= （x 1 2 +x 2 2 ）+2， 又x 1 2 +x 2 2 =2[4k 2 +4（1+k 2 ）]=16k 2 +8， 所以MS+NQ=4k 2 +2+2=4（1+k 2 ）=MN， 即M、N两点到 l 2 距离之和等于线段MN的长．