设f(x)连续，（积分区间为0到π）∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx
其中的sinx可以换成cosx吗，自己写了了一下（积分区间为0到π）∫xf(cosx)dx=∫xf(cosx)dx-π∫f(cosx)dx,那说明∫xf(cosx)dx=0,这是为什么呢，但是平时的时候sinx和cosx可以互相转化，所以我感觉把sinx换成cosx也可以的吧，但好像证明有问题，求解释。
可以的，这个问题可以考虑三角函数对称性
其中sinx关于x＝0.5π是对称的，
才有sin(π－x)＝sinx，
f(sin(π－x))＝f(sinx)，函数保持不变
而cosx没有这个性质，
cos(π－x)＝-cosx，
f(cos(π－x))＝f(-cosx)，与f(cosx)的关系
要考虑函数f(x)的奇偶性，题目没有要求的话得不出简化的结论。
所以，由于cosx关于x＝0对称，应该有cosx＝cos(-x)
原问题用cosx表示的形式应该是，设f(x)连续，（积分区间为-0.5π到0.5π）∫xf(cosx)dx=0，可以用和原问题一模一样的推导过程推出这个结论，也可以用函数奇偶性得出。
扩展资料：
六边形的六个角分别代表六种三角函数，存在如下关系：
1）对角相乘乘积为1，即sinθ·cscθ=1； cosθ·secθ=1； tanθ·cotθ=1。
2）六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积，如：sinθ=cosθ·tanθ；tanθ=sinθ·secθ...
3）阴影部分的三角形，处于上方两个顶点的平方之和等于下顶点的平方值。
推导方法
定名法则
90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变”。
定号法则
将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”（或为“奇变偶不变，符号看象限”）。
在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变，若为奇数时函数名变为相反的函数名。正负号看原函数中α所在象限的正负号。
关于正负号有个口诀；一全正，二正弦，三两切，四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角，正弦为正，第三象限，正切和余切为正，第四象限，余弦为正。
或简写为“ASTC”即“all”“sin”“tan+cot”“cos”依次为正。还可简记为：sin上cos右tan/cot对角，即sin的正值都在x轴上方，cos的正值都在y轴右方，tan/cot 的正值斜着。
比如：90°+α。定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin（90°+α）=cosα , cos（90°+α）=-sinα 这个非常神奇，屡试不爽~
还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin（90°+α），90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，所以sin（90°+α）=cosα。
参考资料来源：百度百科--三角函数
其中sinx关于x＝0.5π是对称的，
才有sin(π－x)＝sinx，
f(sin(π－x))＝f(sinx)，函数保持不变
而cosx没有这个性质，
cos(π－x)＝-cosx，
f(cos(π－x))＝f(-cosx)，与f(cosx)的关系
要考虑函数f(x)的奇偶性，题目没有要求的话得不出简化的结论。
所以，
由于cosx关于x＝0对称，应该有cosx＝cos(-x)
原问题用cosx表示的形式应该是，设f(x)连续，（积分区间为-0.5π到0.5π）∫xf(cosx)dx=0，可以用和原问题一模一样的推导过程推出这个结论，也可以用函数奇偶性得出本回答被提问者采纳
我是觉得f(cosx)一定可以写成g(sinx)的形式，如果g(cosx)成立，那f(sinx)也会成立呀，但是写证明过程的时候有点问题，能不能帮我写一下证明过程，谢谢