多项式相乘求导问题

Question

如题所述

Answer 1

解：
记h(x)=(x-1)(x-2)...(x-n),g(x)=(x+1)(x+2)...(x+n)，则f(x)=h(x)/g(x)，f'(x)=(g(x)*h'(x)-h(x)*g'(x))/(g(x))^2.
h'(x)=(x-1)'(x-2)(x-3)...(x-n)+(x-1)(x-2)'(x-3)...(x-n)+...+(x-1)(x-2)...(x-n)'
=(x-2)(x-3)...(x-n)+(x-1)(x-3)(x-4)...(x-n)+...+(x-1)(x-2)...(x-n+1).
故h'(1)=(1-2)(1-3)...(1-n)+0+0+...+0=(-1)^(n-1)*(n-1)!，
而h(1)=0，g(1)=(1+1)(1+2)...(1+n)=(n+1)!，
故f'(1)=(g(1)*h'(1)-0)/(g(1))^2=h'(1)/g(1)=(-1)^(n-1)*(n-1)!/(n+1)!=(-1)^(n-1)/(n(n+1)).

Answer 2

多项式相乘求导的一般方法是使用求导法则中的乘积法则。具体来说，如果有两个多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$ 相乘，则它们的导数可以通过以下公式计算：

$(f(x)g(x))'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

其中，$f'(x)$ 和 $g'(x)$ 分别表示多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导数。

例如，假设我们要求多项式 $(3x^2+2x+1)(x^3-4x)$ 的导数，则根据上述公式，我们可以计算出：

$[(3x^2+2x+1)(x^3-4x)]' = (3x^2+2x+1)'(x^3-4x)+(3x^2+2x+1)(x^3-4x)'$

$= (6x+2)(x^3-4x)+(3x^2+2x+1)(3x^2-4)$

$= 6x^4-20x^2-8x-4$

因此，多项式 $(3x^2+2x+1)(x^3-4x)$ 的导数为 $6x^4-20x^2-8x-4$。