数列收敛有界的条件是数列的极限存在且有限。
首先,数列收敛的条件是数列的极限存在。如果一个数列没有极限,那么它就是发散的,不满足收敛的条件。例如,数列{1,2,3,...}就是一个没有极限的数列,因为它没有趋近于一个固定的值。
其次,数列有界的条件是数列的极限有限。如果一个数列的极限是无穷大或者无穷小,那么这个数列就是无界的,不满足有界的条件。例如,数列{1/n}就是一个没有上界和下界的数列,因为它的极限是0,但是0并不是一个有限的值。
因此,要判断一个数列是否收敛有界,需要同时满足这两个条件:数列的极限存在且有限。只有当这两个条件都满足时,我们才能说这个数列是收敛有界的。
需要注意的是,有些数列可能既没有极限也没有界,这样的数列被称为发散数列。例如,数列{(-1)^n}就是一个既没有极限也没有界的数列,因为它既不趋近于一个固定的值,也没有上界和下界。
总之,数列收敛有界的条件是数列的极限存在且有限。只有当这两个条件都满足时,我们才能说这个数列是收敛有界的。