为什么x^2在0处不可导，不连续呢？

Question

如题所述

Answer 1

x^2|x|三阶不可导的原因是因为根据泰勒公式，xsinx展开的三次方项为(f(0)三阶导/3！)x^3，又因为(xsinx)三阶导把0代入为0，故第三项不存在，所以当上下同阶需要展开到x^3项时x^2后直接加o(x^3)。

对这两段分别求导就会发现，在0处一个导数为-1一个导数为1，也就是说这两段导数不连续，则该函数在x=0处不可导，按楼主的高中知识理解，就是连续不断和光滑两个条件。

应用分析

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。

Answer 2

题干有误！
f(x)=x^2
求导可得;
f'(x)=2x
注意到f'(x)连续
则f(x)在各个点连续且可导

Answer 3

f(x) = x^2 在 x = 0 处可导，连续