怎么证明函数在某一点可导或可微呢？

Question

如题所述

Answer 1

最基本的方法是利用可导函数的四则运算法则和复合函数的可导性。

如果是抽象函数或定义式较特殊的，就用定义证明任取一点处都具有可导性。
2. f(x)=1+xg(x),而lim x->0 g（x）=1
证明f（x）在R上处处可导，且f'（x）=f（x）
1)f(0)=f(0)^2，结合条件2得到f(0)=1。
2)1=f(x-x)=f(x)f(-x)
条件2是连续性的条件，可以得到
1)lim x->0 f(x)=1=f(0)，即f(x)在0点连续。
2) lim x->0 [f(x)-f(0)]/x= lim x->0 g(x)=1，于是f(x)在0点可微且f'(0)=1。

接下来就可以直接证明结论了。
f'(x)
=lim Δx->0 [f(x+Δx)-f(x)]/Δx
=lim Δx->0 f(x)[f(x+Δx)f(-x)-1]/Δx
=f(x) lim Δx->0 [f(Δx)-1]/Δx
=f(x)f'(0)
=f(x)