极限与有界的关系是什么？

Question

如题所述

Answer 1

1.极限与有界的关系是指如果一个函数在某个点的极限存在，那么在该点的某个邻域内，函数的取值是有界的。
2.具体来说，假设函数f(x)在点a处的极限存在，即lim(xa) f(x) = L。那么对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε。这意味着在以a为中心，半径为δ的邻域内，函数f(x)的取值都在L±ε的范围内。
3.举例说明：
考虑函数f(x) = 1/x，我们来看它在点x = 1处的极限。当x趋近于1时，函数f(x)的取值也会趋近于1。如果我们取ε = 0.5，那么在以x = 1为中心，半径为δ的邻域内，函数f(x)的取值都在0.5到1.5之间。因此，函数f(x)在点x = 1处的极限存在，并且在该点的某个邻域内，函数的取值是有界的。
4.这个例子说明了极限与有界的关系。当函数在某个点的极限存在时，函数在该点的某个邻域内的取值是有界的。这是因为极限的定义保证了函数在邻域内的取值都在一个范围内，即L±ε。这个范围可以找到一个上界和下界，使得函数的取值都在这个范围内。
总结：极限与有界的关系是指当一个函数在某个点的极限存在时，在该点的某个邻域内，函数的取值是有界的。这是由极限的定义所决定的。