复数无法比较大小,这是因为我们无法把复数定义为一个自洽的有序域,使得它在加法和乘法上相容。
实数是可以比较大小的,但是学过复数的人会发现,对于两个复数我们无法比较大小,甚至我们不知道虚数单位“i”和“0”哪个大。
一个数域中的任何两个数要比较大小,首先这个数域的是有序域,也就是我们能建立一套法则,使得数域内的所有数,形成一个有序关系,并在加法和乘法上相容。
在数学上,对于一个数域Q,如果我们能定义一种全序关系使得Q为有序域,那么必定满足下面两个条件(a、b、c属于Q):
条件一:当a>b时,有a+c>b+c;
条件二:当a>b且c>0时,有ac>bc;
对于整数域、实数域来说,这两个条件显然是满足的,所以整数和实数都是有序域,它们之中的任意两个元素都可以比较大小。
复数是实数的扩充,并且引入了虚数单位“i”,我们可以把复数域看作二维数,但是无论我们如何定义,都无法使复数满足有序域的两个条件。
全序关系要求数域中任何两个元素都可以比较,我们就以虚数单位“i”为例,必定满足i>0、i<0或者i=0中的任意一个。
(1)假设i>0
根据条件二,我们令a=i,b=0,则有:
i*i>0*i
也就是-1>0矛盾
(2)假设i<0
说明i为负元,于是-i就是正元,有-i>0,同样根据条件二,则有:
(-i)*(-i)>0*(-i)
也就是-1>0矛盾
(3)假设i=0
那就没得玩了!
我们连虚数单位“i”和“0”的大小都无法比较,那么更不用谈复数之间的比较了。但是每个复数都对应一个模,模属于实数,所以复数的模可以比较大小,复数模的几何意义为复数到原点的距离。
从几何上我们可以理解为,所有实数可以从左到右依次进行排列,因为实数是一维的;但是二维复数无法进行依次排列, 因为二维数的复杂程度本就高于一维数,我们无法在一维当中把二维元素一一排列出来。