高一奥数题

Question

1.已知集合p={x||2x-1|<1} , 则使(p∩m)含于(p∪M)的集合M=( )。
2.已知函数f(x)=㏒a(x²-ax+3) (a>0, 且a≠1) 满足：对任意实数x1,x2,当x1<x2≤(a/2) 时，总有f(x)-f(x) > 0 ,则实数A的取值范围是（ ）。
3。若点p(a,b)是直线x+y=1/m 与 x²+y²=2/m - 1/m² 的一个公共点，则ab的取值范围是（ ）。
4，定义在R上的函数f(x) 的图像关于点(-3/4,0)成中心对称，对任意的实数X都有f(x)=-f(x+3/2) , 且f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+…f(2009) 的值为（）。
要求：要有过程。

Answer 1

已知函数f(x)=㏒a(x²-ax+3) (a>0, 且a≠1) 满足：对任意实数x1,x2,当x1<x2≤(a/2) 时，总有f(x)-f(x) > 0 ,则实数A的取值范围是（ ）。

应该是:f(x1)-f(x2)>0吧.
由此可以得出,函数是减函数.
因为里面二次函数x^2-ax+3在（-∞，a/2）上是减函数，故整个函数为减函数，对数的底a必须大于1，即a>1
然后x²-ax+3在（-∞，a/2）还要恒大于0（但在a/2的地方可以为0）
故△＝a^2-12≤0
a∈（1，2√3〕

定义在R上的函数f(x) 的图像关于点(-3/4,0)成中心对称，对任意的实数X都有f(x)=-f(x+3/2) , 且f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+…f(2009) 的值为（）。

解：这是一个以T=3的周期函数
f(1)=1,f(2)=1,f(3)=-2,f(4)=1,f(5)=1,f(6)=-2,……
所以
f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2007)=0
f(2008)=f(1)=1
f(2009)=f(2)=1
即f(1)+f(2)+...+f(2009)的值为2

原因如下
因为f(x)过(-1,1)和点(0,-2),且其图象关于点(-3/4,0)对称
所以已知两点也关于点(-3/4,0)对称
对称后得到点(-1/2,-1)和点(-3/2,2)
则这两点也在函数图象上
即f(-1/2)=-1,f(-3/2)=2
将这四个函数图象上的点分别代入关系式f(x)=-f(x+3/2)
可得到
f(1/2)=-1,f(1)=1,f(3/2)=2
再一次代入关系式
可得到
f(2)=1,f(3)=-2
经过验算可以发现
f(1)=f(4)=f(7)=……=f(3n-2)=1
f(2)=f(5)=f(8)=……=f(3n-1)=1
f(3)=f(6)=f(9)=……=f(3n)=-2
其中n为正整数
所以得到此函数是一个以3为周期的周期函数
f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2007)刚好有669个周期，而加和为0
所以f(1)+f(2)+...+f(2009)的值=f(2008)+f(2009)=f(1)+f(2)=2

Answer 2

1/(x-a)+1/(x-b)+1/(x-c)=0就相当于
f(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0
f是开口向上的抛物线，f(b)=(b-a)(b-c)<0
所以抛物线与x轴有两个交点且位列x=b的两侧。得证