如题所述
二重积分的中值定理
设f(x,y)在有界闭区域D上连续, 是D的面积,则在D内至少存在一点 ,使得
定理证明
设 (x)在 上连续,且最大值为 ,最小值为 ,最大值和最小值可相等。
由估值定理可得
同除以(b-a)从而由连续函数的介值定理可知,必定 ,使得 ,即:命题得证。
扩展资料:
积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉,或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数,从而使问题简化。
因此,对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式,或者要证的结论中含有定积分,或者所求的极限式中含有定积分时,一般应考虑使用积分中值定理, 去掉积分号,或者化简被积函数。