任意角的三角函数如何定义？

Question

如题所述

Answer 1

你好 

任意角的三角函数的定义:

在高中学习三角函数时,我们将要把锐角扩充到任意角，那么只在直角三角形中定义三角函数就不科学，不方便了。因此，对于任意角的三角函数，我们虽然仍在单位圆中来下定义，但是其含义就发生了微妙的变化。

如图所示:

在直角坐标系中,⊙O的半径为1,任意角α的三角函数定义如下:

正弦:∠α与单位圆的交点A的纵坐标与圆半径的比值叫做正弦,表示为:sinα=Ay/OA=Ay；其中Ay 叫做正弦线。

余弦: ∠α与单位圆的交点A的横坐标与圆半径的比值叫做余弦,表示为:cosα=Ax/OA=Ax；其中Ax 叫做余弦线。

正切: ∠α与单位圆的交点A的纵坐标与横坐标的比值叫做正切,表示为:tanα=Ay/Ax；

余切: ∠α与单位圆的交点A的横坐标与纵坐标的比值叫做余切,表示为:cotα=Ax/Ay； ；

正割: 圆半径和∠α与单位圆的交点A的横坐标的比值叫做正割,表示为:secα=OA/Ax=1/Ax；

余割: 圆半径和∠α与单位圆的交点A的纵坐标的比值叫做余割,表示为:cscα=OA/Ay=1/Ay；

Answer 2

三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。
　

在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x,y)。
　　在这个直角三角形中，y是θ的对边，x是θ的邻边，r是斜边，则可定义以下六种运算方法：
　　
基本函数
英文
表达式
语言描述
正弦函数
Sine
sin
θ=y/r
角α的对边比斜边
余弦函数
Cosine
cos
θ=x/r
角α的邻边比斜边
正切函数
Tangent
tan
θ=y/x
角α的对边比邻边
余切函数
Cotangent
cot
θ=x/y
角α的邻边比对边
正割函数
Secant
sec
θ=r/x
角α的斜边比邻边
余割函数
Cosecant
csc
θ=r/y
角α的斜边比对边
　注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。
非常见三角函数
　　除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数，这些运算已趋于淘汰：
　　
函数名
与常见函数转化关系
正矢函数
versin
θ=1-cos
θ
余矢函数
covers
θ=1-sin
θ
半正矢函数
havers
θ=(1-cos
θ)/2
半余矢函数
hacovers
θ=(1-sin
θ)/2
外正割函数
exsec
θ=sec
θ-1
外余割函数
excsc
θ=csc
θ-1

Answer 3

设a是一个任意大小的角，a的终边上任意一点P的坐标（x,y），它与原点的距离是r（r=根号x的平方+y的平方）则有：
正弦：sina=y除以r
余弦：cosa=x除以r
正切：tana=y除以x
余切：cota=x除以y
正割：seca=r除以x
余割：csca=r除以y

Answer 4

这个手机打起字来就有点麻烦的喔！任意角的三角函数定义：设a为一个任意大小的角，角a的终边上任意一点P的坐标是（x,y）,它与原点的距离为r(r>0),那么角a的正玄为:Sina=y/r
cosa=x/r
tana=y/x
cota=x/y
seca=r/x
……

Answer 5

平面直角坐标系。以原点为圆心，R为半径画圆。过原点做一条直线，与坐标轴X的夹角。Sin=y/r
cos=x/r
tan=y/x
cot=x/y
sec=r/x
csc=r/y