离散设函数g:S→T f:T→S,证明 f:T→S有一左逆函数当且仅当f是入射函数

Question

如题所述

Answer 1

定理4 设f：X→Y,g：Y→Z,那么：

（1）若g*f是单射,则f是单射。

（2）若g*f是满射,则g是满射。

（3）若g*f是双射,则f是单射,g是满射。

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。

另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

元素：

输入值的集合X被称为f的定义域；可能的输出值的集合Y被称为f的值域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f得到的实际输出值的集合。注意，把对应域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对应域的子集。

计算机科学中，参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对应域。因此定义域和对应域是函数一开始就确定的强制进行约束。另一方面，值域是和实际的实现有关。

Answer 2

说白了就是充分使用复合函数的3个定理: (入射=单射，同义词)
定理4 设f：X→Y，g：Y→Z，那么
（1）若g*f是单射，则f是单射。
（2）若g*f是满射，则g是满射。
（3）若g*f是双射，则f是单射，g是满射。
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先证必要性:f:T->S有左逆函数，根据左逆的定义可知，g*f=It
这里It是关于t的满射，根据定律4.1，f就单射函数。

再证充分性:f是单射，对于S中任意一个元素s都有s∈f(T)
因为g是一个函数: S->T，所以对于任意的s∈S，有g(s)=t，这里t是总满足f(t)=s的的元素，所以g*f(t)=g(f(t))=g(s)=t，所以对于任何t都有g*f=It，所以f的左逆存在，并且就是g。

证毕。本回答被提问者采纳