一个函数在除端点外任何一点的领域内都是连续且一致连续的吗？

Question

就是说除了间断点以外的任何点，想想好像没有什么问题，但不知道怎么给出证明，或者这是错的请给出反例。

Answer 1

你想问的是：函数在某一点连续，那么存在这个点的一个邻域，使得函数在这个邻域内也连续，且一致连续。
设t点不是函数的间断点，且t点在f(x)上有定义，那么函数f(x)在t点连续，任取e>0，存在d>0，使得当|x-t|<d时，有|f(x)-f(t)|<e ；现考虑这个邻域：(t-d/2,t+d/2)，对这个邻域(t-d/2,t+d/2)内的任意一点m（因为|m-t|<d，自然有|f(t)-f(m)|<e）以及对邻域(m-d/2,m+d/2)内任意一点x，那么这个x也在这个范围(t-d,t+d)内，当|x-m|<d/2时，这样就有
|f(x)-f(m)|=|f(x)-f(t)+f(t)-f(m)|<=|f(x)-f(t)|+|f(t)-f(m)|<e+e=2e，所以邻域(t-d/2,t+d/2)内的任意一点m也连续，这样函数在邻域(t-d/2,t+d/2)内连续。
闭区间上的连续函数是一致连续的（数学分析中的一个定理），在邻域(t-d/2,t+d/2)内的任意一个闭区间都是一致连续的。比如[a,b]，t-d/2<a<b<t+d/2；但是在开区间(t-d/2,t+d/2)内，函数虽然连续，但不一定一致连续。
满意的话请采纳，谢谢~

Answer 2

这是错的，题目已经把间断点都去掉了，所以肯定连续，但是一致连续是错的，一致连续是
存在一个公共的邻域大小，函数差值小于某个给定的数，你可以回去看课本
上讲一致连续时举的反例，是一个反比例函数，这是连续的，找不到一个公共的邻域大小。
这题其实是在等于在说连续一定一致连续，这是明显错的。