立体几何:利用向量外积求法向量,通过向量混合积计算体积。这一方法非常便捷,但由于此处无法展示行列式,建议自行查找相关资料。极限:应用洛必达法则求解0/0型或∞/∞型的未定极限。例如,当x趋近于0时,sinx/x的极限等于cosx/1,即1。通常情况下,极限问题会涉及x趋近于2,(x^2-3x+2)/(x-2)的极限等于(2x-3)/1,即1。函数:隐函数求导法则,也称为复合函数求导法则。例如,对于xy=1,两边求导得到y+xy'=0,进而得到y'=-y/x=-1/x^2。数列(级数部分):1. 通过后项与前项比值的极限来求解放缩公比,例如证明Sn<pq,其中q<1,则a_n趋近于公比为q的等比数列,由于后者是有界的,因此可以进行放缩。2. 使用不动点来求解递推数列的极限,这主要用于讨论极限的精确范围。例如,对于a_n+1=(pa_n+q)/(sa_n+t),令a_n+1=a_n=x,代入递推式,x即不动点。若可以证明a_n在某个范围内,则x就是a_n的极限。3. 求解齐次线性递推公式(差分方程)的方法非常快速,但通常不适用于高中题目。一般最多为二阶a_n+2+pa_n+1+qa_n=0,构造方程x^2+px+q=0。1. 若方程有两根x1,x2,则a_n的通解为a_n=C1(x1)^n+C2(x2)^n。2. 若方程有重根x0,则a_n的通解为a_n=(C1+C2*n)(x0)^n。C1、C2都是待定系数,在通解中代入已知的两项的值,一般是a_1和a_2就可以求出C1和C2。例如,对于a_n+2-a_n+1-a_n=0,a_1=a_2(斐波那契数列),解得x1=(1+√5)/2,x2=(1-√5)/2,因此a_n=C1[(1+√5)/2]^n+C2[(1-√5)/2]^n。代入a_1=1=C1(1+√5)/2+C2(1-√5)/2,a_2=1=C1[(1+√5)/2]^2+C2[(1-√5)/2]^2,解出C1、C2,从而得出a_n。对于a_n+2-4a_n+1+4a_n=0,a_1=2,a_2=4,解得x0=2,因此a_n=(C1+C2*n)2^n。代入a_1=2=(C1+C2*1)2,a_2=4=(C1+C2*2)^2,解出C1、C2,从而得到a_n。不等式:柯西不等式(很少涉及)。这些就是高中数学竞赛中常用的知识点,其他方法操作复杂,且有些并非竞赛知识,只是一些大学数学的基础内容。在考试中,一定要注明所用方法的出处(定理名称等),否则可能会扣分。
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