如何证明函数在区间（ a, b）连续？

Question

如题所述

Answer 1

为了证明函数在区间（a，b）连续，我们需要满足以下三个条件：

函数在区间（a，b）内有定义。

函数在区间（a，b）内的每一点都有极限。

函数在区间（a，b）内的每一点的极限值等于该点的函数值。
首先，我们需要证明函数在区间（a，b）内有定义。这可以通过检查函数的定义域来完成。如果函数的定义域包含区间（a，b），则函数在该区间内有定义。
接下来，我们需要证明函数在区间（a，b）内的每一点都有极限。这可以通过使用极限的定义来完成。对于区间（a，b）内的任意一点c，我们需要找到一个正数d，使得当x在c的d邻域内时，函数值f(x)与f(c)之差的绝对值小于任意给定的正数ε。
最后，我们需要证明函数在区间（a，b）内的每一点的极限值等于该点的函数值。这可以通过使用极限的性质来完成。对于区间（a，b）内的任意一点c，我们需要证明lim(x->c) f(x) = f(c)。这可以通过将f(x)的极限值与f(c)进行比较来完成。
如果以上三个条件都满足，则函数在区间（a，b）连续。

Answer 2

任给ε>0,要使│cosx-cosa│<ε
即 │-2sin[(x+a)/2]sin[(x-a)/2]│<ε
│sin[(x+a)/2]sin[(x-a)/2]│<│sin[(x-a)/2]│<ε/2
令u=min（ε/2，1），取δ=2arcsinu
则当│x-a│<δ时，有│cosx-cosa│<ε
∴limcosx（x→a时）=cosa