其图像如下：
函数y= x / (1+x²) 的图像
令y'=[(1+x²)-2x²]/(1+x²)²=(1-x²)/(1+x²)²=-(x²-1)/(x²+1)²=-(x+1)(x-1)/(x²+1)²-[=0
得驻点x₁=-1；x₂=1；x₁是极小点；x₂是极大点；
极小值y=y(-1)=-1/2; 极大值y=y(1)=1/2;
x→-∞limy=x→-∞lim[x/(1+x²)]=x→-∞lim(1/2x)=-0;
x→+∞limy=x→+∞lim[x/(1+x²)]=x→+∞lim(1/2x)=+0;
零点：x=0时y=0；
y''=-[2x(x²+1)²-4x(x²-1)(x²+1)]/(x²+1)^4=-(2x^5+4x³+2x-4x^5+4x)/(x²+1)^4
=x(2x^4-4x²+6)/(x²+1)^4=2x(x²-3)(x²+1)/(x²+1)^4=2x(x+√3)(x-√3)(x²+1)=0
得 x=0，x=±√3；即有拐点M(0，0); N₁(-√3, -√3/4)；N₂(√3，√3/4)；
当-∞<x≦-√3或[0，√3]时y''≦0；∴在区间(-∞，-√3]∪[0，√3]内是凸函数；
当-√3≦x≦0或√3≦x<+∞)时y''≧0; ∴在区间[-√3，0]∪[√3，+∞)内是凹函数；
扩展资料
图象性质
1． 作法与图形：通过如下3个步骤（1）算出该函数图象与Y轴和X轴的交点的坐标（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。
2． 性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
3． k，b与函数图象所在象限。
当k>0时，直线必通过一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大；
当k<0时，直线必通过二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小；
当b>0时，直线必通过一、二象限；当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限；当k<0时，直线只通过二、四 象限。
描绘函数y= x / (1+x²) 的图像
定义域：R；在定义域内连续，无间断点；
令y'=[(1+x²)-2x²]/(1+x²)²=(1-x²)/(1+x²)²=-(x²-1)/(x²+1)²=-(x+1)(x-1)/(x²+1)²-[=0
得驻点x₁=-1；x₂=1；x₁是极小点；x₂是极大点；
极小值y=y(-1)=-1/2; 极大值y=y(1)=1/2;
x→-∞limy=x→-∞lim[x/(1+x²)]=x→-∞lim(1/2x)=-0;
x→+∞limy=x→+∞lim[x/(1+x²)]=x→+∞lim(1/2x)=+0;
零点：x=0时y=0；
y''=-[2x(x²+1)²-4x(x²-1)(x²+1)]/(x²+1)^4=-(2x^5+4x³+2x-4x^5+4x)/(x²+1)^4
=x(2x^4-4x²+6)/(x²+1)^4=2x(x²-3)(x²+1)/(x²+1)^4=2x(x+√3)(x-√3)(x²+1)=0
得 x=0，x=±√3；即有拐点M(0，0); N₁(-√3, -√3/4)；N₂(√3，√3/4)；
当-∞<x≦-√3或[0，√3]时y''≦0；∴在区间(-∞，-√3]∪[0，√3]内是凸函数；
当-√3≦x≦0或√3≦x<+∞)时y''≧0; ∴在区间[-√3，0]∪[√3，+∞)内是凹函数；
其图像如下：
令导数为0
解得x=1或-1