计算一个n阶行列式 需要算多少次乘法,加法减法?

Question

如题所述

Answer 1

n次。

如果是按定义计算的话，n阶行列式有n！项，每一项是n个元素的乘积，所以一共要进行n！（n-1）次简洁运算。用余子式把第一列展开，每个元素要计算n-1次乘法，一共n个元素。

首先用第一行的第一个元素消第一列（将第一行元素除以第一行第一个元素，用每一行减去适才得出结果和相应行第一个元素的乘积），需要n-1次除法，（n-1）（n）次乘法。

同理可以做第2，3，n步，第k步包含除法（n-k），包含乘法（n-k）（n+1-k），因此对k求和，得到总的结果为（n^3）/3-n/3，简单来看就是n^3量级。

性质

①行列式A中某行（或列）用同一数k乘，其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT（AT的第i行为A的第i列）。

③若n阶行列式|αij|中某行（或列）；行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行（或列），一个是b1，b2，bn；另一个是с1，с2，сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。