如图1，抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的顶点为（1，4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3，0）
如图1，抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的顶点为（1，4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3，0）。（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小，若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由。 图1 图2 图3
解：（1）设所求抛物线的解析式为： ，依题意，将点B（3，0）代入，得：  解得：a=-1， ∴所求抛物线的解析式为：  ； | |
| （2）如图1，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称， 在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF=HI…………………① 设过A、E两点的一次函数解析式为：y=kx+b（k≠0）， ∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x=2代入抛物线  ，得  ∴点E坐标为（2，3） 又∵抛物线  图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D ∴当y=0时，  ，∴x=-1或x=3 当x=0时，y=-1+4=3， ∴点A（-1，0），点B（3，0），点D（0，3） 又∵抛物线的对称轴为：直线x=1， ∴点D与点E关于PQ对称，GD=GE…………………② 分别将点A（-1，0）、点E（2，3）代入y=kx+b， 得：  解得：  过A、E两点的一次函数解析式为：y=x+1 ∴当x=0时，y=1 ∴点F坐标为（0，1） ∴  =2………………………………………③又∵点F与点I关于x轴对称， ∴点I坐标为（0，-1） ∴  ………④ 又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值， ∴只要使DG+GH+HI最小即可 由图形的对称性和①、②、③，可知， DG+GH+HF=EG+GH+HI 只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小 设过E（2，3）、I（0，-1）两点的函数解析式为：  ，分别将点E（2，3）、点I（0，-1）代入  ，得：  解得：  过A、E两点的一次函数解析式为：y=2x-1 ∴当x=1时，y=1；当y=0时，x=  ； ∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（  ，0） ∴四边形DFHG的周长最小为：DF+DG+GH+HF=DF+EI 由③和④，可知： DF+EI=  ∴四边形DFHG的周长最小为  。 | |
| （3）如图2，由题意可知，∠NMD=∠MDB， 要使，△DNM∽△BMD，只要使  即可，即：  ………………………………⑤ 设点M的坐标为（a，0）， 由MN∥BD，可得 △AMN∽△ABD， ∴  再由（1）、（2）可知，AM=1+a，BD=  ，AB=4 ∴  ∵  ， ∴⑤式可写成：  解得：  或 （不合题意，舍去） ∴点M的坐标为（  ，0）又∵点T在抛物线 
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