导函数在某点极限存在则原函数在这一点肯定可导，那导函数极限不存在

Question

导函数在某点极限存在则原函数在这一点肯定可导，那导函数极限不存在能推出原函数在这点不可导么？还有函数在某点可导不能推出导函数在这点极限存在吧？导函数极限存在，原函数可导，有什么联系等等，能举个例子解释一下么？谢谢大神！！！急求帮忙！！

Answer 1

注意导函数极限定理的前提条件是,f(x)在x0的某个邻域连续,去心邻域可导.不要光记住结论,要记完整一句话好吗?
在这个前提下,如果导函数f'(x)在x0处有极限,那么f(x)在x0处必可导,并且导数就等于f'(x)的极限.这个定理说明如果f'(x)在某点有极限,则f'(x)在该点必连续,所以又叫做导函数连续定理.
这个定理的否命题是假的,即在大前提条件不变的情况下,导函数在某点不存在极限,不代表原函数在该点不可导.
例如f(x)=x²sin(1/x),x≠0.f(x)=0,x=0.这是一个分段函数,由于lim(x→0)f(x)=有界函数乘以无穷小=0=f(0),因此f(x)在R上是连续的.
当x≠0时,f'(x)=[x²sin(1/x)]'=2xsin(1/x)-cos(1/x).显然当x→0时,f'(x)极限不存在,但根据导数的定义,f'(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0)=lim(x→0)xsin(1/x)=0,即f(x)在x=0处可导.所以否命题为假.
由于命题与其逆否命题等价,所以导函数在某点不存在极限,则原函数在该点不可导这句话是假的,那么原函数在某点可导,则导函数在该点存在极限也是假的.这句话恰好是导函数连续定理的逆命题,逆命题为假,因此导函数极限存在只是原函数在该点可导的充分条件,而不是必要条件.

Answer 2

导函数在某点极限存在则原函数在这一点肯定可导

这一条就不成立啊
例如函数
f（x）=x²/x，其实这个函数就是分段函数f（x）=x（x≠0）
这个函数的导函数是f'（x）=1（x≠0）
很明显，导函数在x=0处的极限是1，但是x=0是原函数f（x）=x²/x的间断点，不可导。
所以导函数在某点极限存在则原函数在这一点肯定可导，这句话完全错误。追问

那导数极限定理说的是什么事？老师说导数极限定理是导数存在的充分非必要条件，我真搞不懂，😭😭😭

追答

看看导数极限定理的条件。原函数f（x）在x0的某领域内连续

有这个前提，定理才成立

而我给出的f（x）=x²/x，在x=0点处不连续，所以不满足该定理的前提。该定理也就不成立了。

所以运用定理，必须考虑定理的前提条件。不能无限运用。

追问

谢谢，明白

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