第1个回答 2013-12-02
中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自安函数论等多方面研究的创始人和开拓者。在国际上以华氏命名的数学科研成果就有“华氏定理”、“怀依—华不等式”、“华氏不等式”、“普劳威尔—加当华定理”、“华氏算子”、“华—王方法”等。华罗庚同志一生为我们留下了十部专著:《堆垒素数论》、《指数和的估价及其在数论中的应用》、《多复变函数论中的典型域的调和分析》、《数论导引》、《典型群》(与万哲先合著)、《从单位圆谈起》、《数论在近似分析中的应用》(与王元合著)、《二阶两个自变数两个未知函数的常系数线性偏微分方程组》(与他人合著)、《优选学》及《计划经济范围最优化的数学理论》,其中八部为国外翻译出版,有些已列入本世纪数学的经典著作之列。 此外,还有学术论文200余篇,科普作品《优选法评话及其补充》、《统筹法评话及补充》等,辑为《华罗庚科普著作选集》。
在代数方面,证明了历史长久遗留的一维射影几何的基本定理;给出了体的正规子体一定包含在它的中心之中这个结果的一个简单而直接的证明,被称为嘉当-布饶尔-华定理。其专著《堆垒素数论》系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德圆法、维诺格拉多夫三角和估计方法及他本人的方法,发表40余年来其主要结果仍居世界领先地位,先后被译为俄、匈、日、德、英文出版,成为20世纪经典数论著作之一。其专著《多个复变典型域上的调和分析》以精密的分析和矩阵技巧,结合群表示论,具体给出了典型域的完整正交系,从而给出了柯西与泊松核的表达式。这项工作在调和分析、复分析、微分方程等研究中有着广泛深入的影响,曾获中国自然科学奖一等奖。倡导应用数学与计算机的研制,曾出版《统筹方法平话》、《优选学》等多部著作并在中国推广应用。与王元教授合作在近代数论方法应用研究方面获重要成果,被称为“华-王方法”。在发展数学教育和科学普及方面做出了重要贡献。发表研究论文200多篇,并有专著和科普性著作数十种。
第2个回答 2013-12-02
在英国,华罗庚参加了一个有名的数论学家的小组。这个小组包括英国数学家哈罗尔德·达凡波特、哈代、李特伍德,德国数学家埃斯特曼和汉斯·海尔勃洛嗯。华罗庚在剑桥大学的工作大部分是研究堆垒素数论。堆类素数论涉及到把整数分解成某些别的整数的和。华林问题是这个学科中最透彻的研究过的一个问题,其中特殊的数是 K 次幂。问题是这样的:对于给定的 K ,要求最小的整数 S ,称为 G ( K ),方程是: n=x1+x2+……+xs 对每个正态数 n 都是可解的。 1909 年,在华林之后一百年,希尔伯特证明了:对每一个 k ,这样的最小值 g ( k )当然是存在的。但是它的证明与其说是构造性的,毋宁说是归纳性的,所以就不必给出 g ( k )明确的上界。自希尔伯特之后许多著名的数学家都致力于计算 g ( k )的工作。例如已经知道 g ( 2 ) =4 ,就是说每一个整数能够表示为四个整数的平方和或者九个整整数的立方和,并且这四、九的个数不能太小。对于所有的 k ,要找出 g ( k )的明确表达的试图尚未成功。尽管相信,对于所有的正整数 k ,除掉有限的几个外,有 g ( k ) =ak+A-a ,此处 A 是不超过( 3/2k ) 的最大整数。因为相对小的整数有时可以由特殊的表示,它包含在某些更广泛的基本结果中。 g ( k )定义为方程( 1 )对于全体充分大的 n ,可解的最小整数 s 。在计算或估计 g ( k )方面已经作了许多努力,知道 g ( 2 ) =4 , 4<=g ( 3 ) <=g(4)=16, 达凡波特在 1942 年证明了 :g(5)<=25,g(6)<=36, 但对于 k>=s ,没有找出 g(k) 明确的值。歌德巴赫问题就是和华林问题密切联系的一个著名难题。其中 k=1,s=2 或 3,x 要求是素数。歌德巴赫问题可表达为: “ 规定任意偶数 h ,能否找到素数 x1 和 x2 ,使 n=x1+x2” ,对于 s=3 ,则为 “ 给定任意技术 n ,能否找到素 数 x1 、 x2 、 x3 ,是 n=x1+x2+x3 ? ” 华罗庚在华林问题和歌德巴赫问题上的研究结果将他欧洲同事的工作包罗殆尽。在二十年代,哈代和李特伍德公布了一系列的论文,他们用新的解析方法解决华林问题,并指出 g ( k ) =O ( n+1 ),对于方程( 1 )要求 x1>=O;……x3>=O 的整数解的个数 (rs(n)), 他们也得到一个渐近的公式。他们将 rk , s ( n )表示为 k , s 和 n 的函数。为 n→ 无穷时,加上一项( n-1+s/k ),但是他们的结果仅仅是对 s 大的知识有效的。华罗庚在华林问题最好的成果,按照海尔勃洛恩德看法是证明了哈代 -- 利特伍德公式对于所有 s>=2+1 成立。这就是华氏定理。华罗庚的这一成果,至今仍是逻辑地引导到估计 g ( k )一把有力的钥匙。达凡波特这样写道 : 华罗庚关于三角积分 (2) 的 “ 最有效 ” 的界,是他能够导出 G ( 5 )和 G ( 6 )的严格不等式。在达凡波特之前,对前一种情况的最强估计 G ( 5 ), <28 是属于华罗庚 1939 年的成果。 在剑桥大学的两年中,华罗庚就 “ 华林问题 ” 、 “ 他利问题 ” , “ 奇数的歌德巴赫问题 ” 写了十八篇论文, 先后发表在英、苏、印度、法、德等国的杂志上。其中包括 “ 论高斯的完整三角和估计问题 ” 这篇有名的论文。 按其成就,已经越过了每一条院士的要求,但在剑桥他从未正式申请过学位。