线性子空间问题

Question

已知线性空间V的一组基为a1.a2........at。V的一个非平淡子空间V1，请问V中的一个向量a=a1+a2+……+at，在v1中吗？请证明。

Answer 1

否定一个命题是不用证明的，只需举出一反例即可。以三维欧式空间V为例，它的一组基为(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，即三个坐标轴，则a=(1,1,1)，显然如果取xoy平面构成的子空间V1，则a必然不在V1中。追问

我知道在这种情况下命题必然成立，但是，你这不能说明在所有的情况下都成立啊。可不可以证明一下，对所有的线性空间都成立？

追答

不管是什么线性空间，我举的例子说明有的线性空间中某些子空间使得a不在V1中，同样有些线性空间中a在V1中。有这两条，就足以说明a可能在V1中也可能不在V1中，这个结论不用证明，只需这两个例子即可得出。