已知函数f（x）=2sin2（π4+x）-3cos2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最大值和最小值

Question

已知函数f（x）=2sin2（π4+x）-3cos2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最大值和最小值；（3）若不等式f（x）-m＜2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）f(x)＝1?cos[2(

π

4

+x)]?

3

cos2x
=1?cos(

π

2

+2x)?

3

cos2x＝sin2x?

3

cos2x+1=2(

1

2

sin2x?

3

2

cos2x)+1=2(sin2xcos

π

3

?cos2xsin

π

3

)+1＝2sin(2x?

π

3

)+1．
因此函数f（x）的最小正周期T＝

2π

2

＝π．
（2）f（x）_max=2+1=3，f（x）_min=-2+1=-1．
（3）由不等式f（x）-m＜2，得m＞f（x）-2，
所以原问题转化为不等式m＞f（x）-2恒成立，从而m＞[f（x）-2]_max，
由（2）得[f（x）-2]_max=f（x）_max-2=3-2=1．