收敛数列一定有界吗？

Question

如题所述

Answer 1

收敛是有界的必要而不充分条件。

1、收敛数列简介。

收敛数列，数学名词，设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列（Convergent Sequences）。

如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。

2、有界数列简介。

有界数列，是数学领域的定理，是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。

若数列{Xn}满足：对一切n有Xn≤M（其中M是与n无关的常数）称数列{Xn}上有界（有上界）并称M是他的一个上界。对一切n有Xn≥m（其中m是与n无关的常数）称数列{Xn}下有界（有下界）并称m是他的一个下界。

收敛数列和有界数列的关系及收敛数列与其子数列间的关系：

1、收敛数列和有界数列的关系。

数列收敛是数列有界的必要而不充分条件，没有界数列一定发散，所以有界是收敛的必要条件，但是有界数列不一定收敛，有界数列是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。

如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。如果数列Xn收敛，那么该数列必定有界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。

2、收敛数列与其子数列间的关系。

子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。如果数列{Xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。