第1个回答 2019-08-04
一、分式方程无解不一定就产生增根
要弄清这个问题,首先要搞清楚:什么是分式方程的增根?简言之,能使分式方程的最简公分母为零的根就是其增根。再次必须知道:增根也是根,它是原分式方程去分母后所变形而成的整式方程的根。若这个整式方程本身就无解,当然原分式方程肯定就无解了,而在这种情形下就没有增根产生。举例如下:
例1.解方程:(x-1)/(x+2)=(3-x)/(2+x)+2
分析:去分母得:x-1=3-x+2x+4
移项,合并同类项得:0x=8
因为此方程无解,所以原分式方程无解.
例2.解方程:(x2+2)/(x2-4)=2/(x+2)-1
分析:去分母得:x2+2=2x-4-x2+4
移项,合并同类项得:x2-x+1=0
∵△=1-4<0∴此方程无解∴原方程无解.
二、分式方程产生增根时也不一定就无解
如果分式方程在去分母后所变形而成的整式方程是一元一次方程,它的解恰能使最简公分母为零,这个根是增根。又由于一元一次方程的根往往只有一个,所以,这时的原分式方程无解;若所变形而成的整式方程是一元二次方程时,情形就不一样了。举例如下:
例3.解方程:1/(x-2)+3=(1-x)/(2-x)
分析:去分母得:1+3x-6=x-1
解得:x=2
经检验:x=2是增根
所以原方程无解.
例4.解方程:x/(x-1)-2/(x+1)=4/(x2-1)
分析:去分母得:x2+x-2x+2=4
解得:x1=2,x2=-1
经检验:x=2是原方程的根,x=-1是增根
所以,原方程的根为x=2.
因此,弄清增根与无解的区别,能帮助我们提高解分式方程的正确性,对判断方程解的情况有一定的指导意义。