如果您的苹果设备在屏幕镜像过程中持续显示转圈，可以尝试以下方法来解决问题：
1. 检查网络连接：确认您的设备和镜像接收端（如电视或电脑）连接到同一无线网络上，并确保网络稳定。如果您的网络信号不稳定，可能会导致屏幕镜像出现问题。
2. 重启设备和镜像接收端：尝试重新启动您的设备和镜像接收端，有时候这能够解决一些临时的软件问题。
3. 关闭防火墙或安全软件：如果您的设备或镜像接收端上启用了防火墙或安全软件，可能会阻止设备之间的通信，导致屏幕镜像无法正常工作。您可以尝试关闭这些防火墙或安全软件，然后再次尝试进行屏幕镜像。
4. 更新设备和镜像接收端的软件：您的设备和镜像接收端上的虚拟镜像机制需要一定的软件支持，而这些支持通常由操作系统更新提供。因此，请确保您的设备和镜像接收端上的软件都是最新版本，并重新尝试屏幕镜像。