高一数学不等式的性质题目2道

Question

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1》设（-π/2）＜α＜β＜（π/2），求α＋β、α－β的取值范围。

2》设a、b∈正实数，n∈自然数、n≥2，比较（a^n）＋（b^n）与（a^(n-1)）·b＋ab^(n-1)的大小。

有清楚详细准确过程，可能加分 麻烦了
3》对任意a、b、c、d∈R，证明（a²＋b²)(c²＋d²）≥（ac＋bd）²

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Answer 1

（-π/2）+（-π/2）<α＋β<（π/2）+（π/2）
也就是-π<α＋β<π

α－β=α＋(-β)
而（-π/2）＜-β＜（π/2）
因此（-π/2）+（-π/2）<α－β<（π/2）+（π/2）
也就是-π<α－β<π

(a^n)＋(b^n)和ba^(n-1)＋ab^(n-1)比较大小,只要做差:
[(a^n)＋(b^n)]-[ba^(n-1)＋ab^(n-1)]
=(a^n)-ba^(n-1)+(b^n)-ab^(n-1)
=[(a^n)-ba^(n-1)]+[(b^n)-ab^(n-1)]
=(a-b)a^(n-1)+(b-a)b^(n-1)
=(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)]
如果a=b 那么(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)]=0
也就是[(a^n)＋(b^n)]-[ba^(n-1)＋ab^(n-1)]=0
所以两者相等
如果a>b 那么a-b>0而且a^(n-1)-b^(n-1)>0 所以(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)]>0
如果a<b 那么a-b<0而且a^(n-1)-b^(n-1)<0 所以(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)]>0
这两种情况下[(a^n)＋(b^n)]-[ba^(n-1)＋ab^(n-1)]>0
所以(a^n)＋(b^n)>ba^(n-1)＋ab^(n-1).
综合来说(a^n)＋(b^n)大于等于ba^(n-1)＋ab^(n-1),只有在a=b的时候等号才成立.

第三题其实就是柯西不等式.
因为这是二元的,最简单直接的方法就是直接展开证明.
（a²＋b²)(c²＋d²）≥（ac＋bd）²等价于
a²c²+a²d²+b²c²+b²d²≥a²c²+2abcd+b²d²等价于
a²d²+b²c²≥2abcd等价于
a²d²-2abcd+b²c²≥0等价于
(ad-bc)²≥0
一个数的平方大于等于0 这是显然成立的.