证:
由拉格朗日中值定理得
在区间(x1,x2)内,至少有一点ξ1,使f'(ξ1)=[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)
f(x2)=f(x1),f'(ξ1)=0
同理可得在区间(x2,x3)内,至少有一点ξ2,f'(ξ2)=0
函数在(a,b)内具有二阶导数,则f'(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导
由罗尔中值定理得,在区间(ξ1,ξ2)内,至少有一点ξ,使得
f''(ξ)=[f'(ξ2)-f'(ξ1)]/(ξ2-ξ1)=(0-0)/(ξ2-ξ1)=0
(ξ1,ξ2)⊂(x1,x3)
因此在(x1,x3)内至少有一点ξ,使得f''(ξ)=0
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