证：
由拉格朗日中值定理得
在区间(x1，x2)内，至少有一点ξ1，使f'(ξ1)=[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)
f(x2)=f(x1)，f'(ξ1)=0
同理可得在区间(x2，x3)内，至少有一点ξ2，f'(ξ2)=0
函数在(a，b)内具有二阶导数，则f'(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导
由罗尔中值定理得，在区间(ξ1，ξ2)内，至少有一点ξ，使得
f''(ξ)=[f'(ξ2)-f'(ξ1)]/(ξ2-ξ1)=(0-0)/(ξ2-ξ1)=0
(ξ1，ξ2)⊂(x1，x3)
因此在(x1，x3)内至少有一点ξ，使得f''(ξ)=0
由拉格朗日中值定理得
在区间(x1，x2)内，至少有一点ξ1，使f'(ξ1)=[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)
f(x2)=f(x1)，f'(ξ1)=0
同理可得在区间(x2，x3)内，至少有一点ξ2，f'(ξ2)=0
函数在(a，b)内具有二阶导数，则f'(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导
由罗尔中值定理得，在区间(ξ1，ξ2)内，至少有一点ξ，使得
f''(ξ)=[f'(ξ2)-f'(ξ1)]/(ξ2-ξ1)=(0-0)/(ξ2-ξ1)=0
(ξ1，ξ2)⊂(x1，x3)
因此在(x1，x3)内至少有一点ξ，使得f''(ξ)=0
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