并没有“不甚感激”这个词语，如果一定用这个词语的话，就是说不怎么感激的意思，这也不符合汉语的用法。
不胜感激 [ bù shèng gǎn jī ]
对于某人某物有不尽的感动与感恩之情。
“胜”的含义
◎ 在斗争或竞赛中打败对方或事业达到预定目的：～利。得～。～券（指胜利的把握）。～负。无往不～。
◎ 超过，占优势：～似。优～。以少～多。
◎ 优美的：～地。～景。～境。～迹。～状（胜景）。
◎ 古代妇女的饰物：花～。彩～。
◎ 能承担，能承受（旧读shēng ）：～任。不～其烦。
◎ 尽：不～感激。
很显然，在“不胜感激”这个词语当中，胜的意思应该是最后一个解释——尽。
“感激”的含义
(1) 因为别人的好意或帮助而对他有好感
(2) 对于施恩者怀有热烈友好的感情,促使人去报答恩情
(3) 感动奋发
这就是“感激”一词的词义，在本词条当中的意思则应当是此三者都存在的。
造句：
1、不胜感激：有对于某人或某物不尽的感动与感恩之情，对其怀有强烈友好的感情，促使人去报答恩情。
2、我方随时愿意效劳,若承蒙贵方惠赐回函,当不胜感激.
3、耆宿能认同我的意见,我不胜感激.
4、如蒙惠赐上述报价单，不胜感激。如能惠寄样本和价格表，亦必感激不尽。
5、请回信告如下列货物的最低报价，则不胜感激。