高数书上关于洛必达法则的证明：由(1)当x→a时，f(x)和F(x)趋于零；(2)在a

Question

高数书上关于洛必达法则的证明：由(1)当x→a时，f(x)和F(x)趋于零；(2)在a的去心邻域内都可导且F`(x)≠0。推出f(x)和F(x)在a的邻域内连续，为什么？去心邻域可导可以推邻域内连续？求详细解释

Answer 1

第三个条件是一样的,但是不可以缺少,因为有很多当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零,可是当求导后会出现不等于一个常数值或无穷大,这种情况在三角函数中常出现,遇到事小心点用洛必达法则,第三个条件的意思是在求当x→a时lim f'(x)/F'(x)都存在或为无穷大,讲明白就是分子是常说常数,分母就一定要是常数,分子是无穷小分母就是无穷小,我也说的不是太清楚!
举个例子当X→∞时 lim (X-sinX)/(X+sinX)就是不能用洛必达定理,自己可以试试,其就是第三个定理的问题!

Answer 2

由f(x)可导，则f(x)连续。这是定理。追问

可没说在a点可导啊，为什么就退出了在a点连续呢

追答

由f(x)可导，则f(x)连续。（指的是邻域），并没说在a处可导，连续的。
定理证明是补充f(0)=0,F(0)=0

追问

原来如此，我说他为什么非要假设在a点的值为0，是为了保证连续啊，谢谢，懂了

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Answer 3

不对不对，因为证明过程中人为的给它补充定义了，而且由第二条知它是在去心邻域内可导的，也就是在去心邻域内连续，有经过补充定义使得在a点连续了，所以在邻域内连续了

Answer 4

因为书上在“（1）”这段话前补充了假定f（a）=F（A）=0，这样结合（1）才得出a点也连续