1.已知三角形ABC三点的坐标：A(3,-8)，B(-2, 1.5)，C(1,-3)。求(1)AB、中点坐标.(2)BC距离.(3)BC边上中线AD的中点坐标。
解：（1）AB中点坐标为（（3-2）/2，（-8+1.5）/2）=（0.5，3.25）
（2）BC距离=√((-2-1)^2+(1.5+3)^2)=15√13
(3)BC边上中点D=(-0.5,-0.75),
AD中点=(1.25,-4.375)
2.若lgab=2，lga*lgb=-3，求a、b的值。
解:lgab=2， ab=2^10,
lga*lgb=-3
(a+b)=(-3)^10，且a>0,b>0
解得a=
b=
3.如果从今年起某工厂的年产值每年都比上一年增长8%，那么大约经过多少年可以使年产值翻一倍？
解：设x年
第一年是1，则翻倍是2
第x年是(1+8%)^x=2
x=lg2/lg1.08=9
所以大约经过9年
4.求函数y=(1/3)^(x^2-2x+2)的单调区间和值域。
5.已知α=1690°，（1）试把α写成β+2kπ的形式(k∈Z,β∈[0,2π])
（2）求θ，使θ与α终边重合，且θ∈（-4π，-2π）。
6.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的变长，求该弧所对的圆心角。
解：因为内接正三角形边长的一半应该等于半径r乘以sin60度，也就是说边长应该为r乘以根号3（过圆心作正三角形边的垂线，然后连接其两端点和圆心，易知该垂线也是角平分线和中线（等腰三角形三线合一））
现在弧长等于边长，用弧长比上半径，得到弧度根号3
7.已知三角形ABC中，acosA=bcosB，试判断三角形的形状。
解：acosA=bcosB,a/b=cosB/cosA (1)
a/sinA=b/sinB(正弦定理）
a/b=sinA/sinB (2)
(1),(2)连立得：
cosB/cosA=sinA/sinB,cosBsinB=sinAcosA
sin2A=sin2B
因为A＋B＜180
2A＝2B或2A＝180-2B
A＝B或A＋B＝90
证明成立
⊿ABC是等腰三角形或直角三角形
8.测量队在山脚下某处测得山顶仰角为35°，沿倾斜角20°的斜坡前进1000米再测得山顶仰角为65°，求山高。（精确到0.01）
解：根据角的关系可得ACD＝135度，ACD＝30度
在三角形ACD中，由正弦定理 AC/sin145=1000/sin30 得 AC＝1000倍根2 在三角形ABC中 BC＝ACsin35＝1000倍根2×sin35=811.037
此即就是山的高度
http://www.hongzhinet.com/homeworkhelp/upload/6418914683_817202450.gif9.某船在海面A处测得灯塔C与A相距10根号3海里，且在北偏东30°的方向；测得灯塔B与A相距15根号6海里，且在北偏西75°方向。船由A向正北方向航行到D处，再看灯塔B在南偏西60°的方向。问：灯塔C与D相距多少海里？C在D的什么方向？
解：如图
10.已知tanA、cotA是关于x的方程2x^2 -2kx+k^2 -3=0的两个实数根，且π＜A＜5π /4，求sin2A的值。
15.已知cosA=5/13，cos(A+B)=-4/5，求A,B都是锐角，求cosB的值。
16.若α、β满足tanα=1，3sinβ=sin(2α+β)，求tan(2α+2β)的值。
解：sin2α=2tanα/(1+(tanα)^2)=2/2=1
cos2α=[1-(tanα)^2]/[1+(tanα)^2]=0
3sinβ=sin(2α+β)=sin2αcosβ+cos2αsinβ=cosβ
所以tanβ=sinβ/cosβ=1/3
tan(β+α)=tanβ+tanα/(1-tanβ*tanα)=(4/3)/(1-1/3)=2
tan(2α+2β)=tan（2（β+α））
17.甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，|AB|=b海里，且乙船以每小时a海里的速度向正北行驶。已知甲船的速度是每小时根号3a（a在根号外）海里，问：甲船沿什么方向前进，才能与乙船最快相遇？相遇时甲船行驶了多少时间？
解：令BC=b1，则AC=√3b1，∠ABC=120
cos∠ABC=（b∧2+b1∧2-（√3b1）∧2）/（2b*b1）
-1/2*2b*b1=（b∧2-2b1∧2）
b∧2+b*b1-2b1∧2=0（b+2b1）（b-b1）=0
b=b1，b=-2b1（舍）
角度sin∠ABC/（√3b1）=sin∠ACB/（b1）
sin∠ACB=1/2
∠ACB=30°
甲船沿着北偏东30°方向前进
18.已知边长为a的正方形OPQR，点A,B分别在边OP,OR上，且角AQB=45°，求四边形OBQA面积的最大值。
解：将三角形BQR绕Q点逆时针旋转90°，R点与P点重合，B点旋转，到B‘点，O,P,B'在一条直线上
∠BQR+∠AQR=45°，BR=B'P,QB=QB',∠BQR=∠B'QP,
连接AB，△AQB≌△AQB'
AB=AB'=AP+BR
设AP=x,OA=a-x,BR=AB-AP=AB-x
OB=a-BR=a+x-AB
在RT△AOB中，OA^2+OB^2=AB^2
(a-x)^2+(a+x-AB)^2=AB^2
AB=(a^2+x^2)/(a+x),BR=AB-x=a(a-x)/(a+x)
S四边形OBQA=a^2-ax/2-a*a(a-x)(a+x)/2
=(a^2)/2+ax(a-x)/(2(a+x))=(a^2)/2+(a^2/4)*(2x/(a+x))*(a-x)/(a+x))
因2x/(a+x)+(a-x)/(a+x)=1是定值，
只有当2x/(a+x)=(a-x)/(a+x)时，它们的积最大
此时x=a/3
所以四边形OBQA的面积最大值为：(a^2)/2+(a^2/4)/4=9a^2/16