2009年长春市初中毕业生学业考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列四个数中，小于0的是
（A）-2.（B）0.（C）1.（D）3.
2．右边的几何体是由五个大小相同的正方体组成的，它的正视图为
3．不等式2x-6<0的解集是
（A）x>3.（B）x<3.（C）x>-3.（D）x<-3.
4．两圆的半径分别为2和5，圆心距为7，则这两圆的位置关系为
（A）外离.（B）外切.（C）相交.（D）内切.
5．在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组7名同学捐款的金额（单位：元）分别为：6,3,6,5,5,6,9.这组数据的中位数和众数分别是
（A）5，5.（B）6，5.（C）6，6.（D）5，6.
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′.若∠BAC=50°，
则∠CAB′的度数为
（A）30°.（B）40°.（C）50°.（D）80°.
7．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.∠AOC=45°，OC= ，则点B的坐标为
（A）( ,1).（B）(1, ).（C）( +1，1).（D）(1， +1).
8�如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回.点P在运动过程中速度大小不变.则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为
二、填空题（每小题3分，共18分）
9． 计算：5a-2a= .
10．将3张净月潭公园门票和2张长影世纪城门票分别装入5个完全相同的信封中.小明从中随机抽取一个信封，信封中恰好装有净月潭公园门票的概率为 .
11．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AB=10，∠A=30°，则BC的长为 .
12．如图，l‖m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α= 度.
13．用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为 （用含n的代数式表示）.
14．如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留π）.
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．先化简，再求值： ，其中x=2.
16．在两个不透明的盒子中，分别装着只有颜色不同的红、白、黑3个小球.从两个盒子中各随机摸出一个小球.请你用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个小球颜色相同的概率.
17．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长.
18．某工程队承接了3000米的修路任务，在修好600米后，引进了新设备，工作效率是原来的2倍，一共用30天完成了任务.求引进新设备前平均每天修路多少米.
四、解答题（每小题6分，共12分）
19．图①、图②均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上.
（1）在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形.（画一个即可）（3分）
（2）在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形.（画一个即可）（3分）
20．如图，两条笔直的公路AB、CD相交于点O，∠AOC为36°.指挥中心M设在OA路段上，与O地的距离为18千米.一次行动中，王警官带队从O地出发，沿OC方向行进.王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进行通话.通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话.
【参考数据：sin36°=0.59，cos36°=0.81，tan36°=0.73.】
五、解答题（每小题6分，共12分）
21.如图，点P的坐标为（2， ），过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线 (x>0)于点N；作PM⊥AN交双曲线 (x>0)于点M，连结AM.已知PN=4.
（1）求k的值.（3分）
（2）求△APM的面积.（3分）
22．某市青少年健康研究中心随机抽取了本市1000名小学生和若干名中学生，对他们的视力状况进行了调查，并把调查结果绘制成如下统计图.（近视程度分为轻度、中度、高度三种）
（1）求这1000名小学生患近视的百分比.（2分）
（2）求本次抽查的中学生人数.（2分）
（3）该市有中学生8万人，小学生10万人.分别估计该市的中学生与小学生患“中度近视”的人数.（2分）
六、解答题（每小题7分，共14分）
23．如图，抛物线 与x轴正半轴交于点A（3，0）.以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF.
（1）求a的值.（2分）
（2）求点F的坐标.（5分）
24．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=32°.分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE=BC，DF=DC，∠EBC=∠CDF，延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连结AE、AF.
（1）求证：△ABE≌△FDA.（4分）
（2）当AE⊥AF时，求∠EBH的度数.（3分）
七、解答题（每小题10分，共20分）
25．某部队甲、乙两班参加植树活动.乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树.设甲班植树的总量为y甲（棵），乙班植树的总量为y乙（棵），两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为x（时）.y甲、y乙分别与x之间的部分函数图象如图所示.
（1）当0≤x≤6时，分别求y甲、y乙与x之间的函数关系式.（3分）
（2）如果甲、乙两班均保持前6个小时的工作效率，通过计算说明，当x=8时，甲、乙两班植树的总量之和能否超过260棵.（3分）
（3）如果6个小时后，甲班保持前6个小时的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2小时，活动结束.当x=8时，两班之间植树的总量相差20棵，求乙班增加人数后平均每小时植树多少棵.（4分）
26．如图，直线 分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线 与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D.点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动.过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN.设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）.
（1）求点C的坐标.（1分）
（2）当0<t<5时，求S与t之间的函数关系式.（4分）
（3）求（2）中S的最大值.（2分）
（4）当t>0时，直接写出点（4， ）在正方形PQMN内部时t的取值范围.（3分）
【参考公式：二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为（ ）.】
09长春市中考数学正题答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．A 2．D 3．B 4．B 5．C 6．A 7．C 8．A
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．3a 10． 11．5 12．25 13．2n+2 14．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．解：原式= .（3分）
当x=2时，原式 .（5分）
16．解：
（3分）
∴P（摸出两个球颜色相同）=39=13. （5分）
17．解：∵△ABE∽△DEF，∴AB：DE=AE：DF.
即6：2=9：DF，∴DF=3. （3分）
在矩形ABCD中，∠D=90°.
∴在Rt△DEF中，EF=13. （5分）
18．解：设引进新设备前平均每天修路x米.
根据题意，得 . （3分）
解得x=60.
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意.
答：引进新设备前平均每天修路60米.（5分）
四、解答题（每小题6分，共12分）
19�解：（1）有以下答案供参考：
（3分）
（2）有以下答案供参考：
（6分）
20�解：过点M作MH⊥OC于点H.
在Rt△MOH中，sin∠MOH= .（3分）
∵OM=18，∠MOH=36°，
∴MH=18×sin36°=18×0.59=10.62>10.
即王警官在行进过程中不能实现与指挥中心用对讲机通话.（6分）
五、解答题（每小题6分，共12分）
21．解：（1）∵点P的坐标为（2， ），
∴AP=2，OA= .
∵PN=4，∴AN=6，
∴点N的坐标为（6, ）.
把N（6, ）代入y= 中，得k=9. （3分）
（2）∵k=9，∴y= .
当x=2时，y= .
∴MP= - =3.
∴S△APM= ×2×3=3. （6分）
22．解：（1）∵(252+104+24)÷1000=38%,
∴这1000名小学生患近视的百分比为38%. （2分）
（2）∵(263+260+37)÷56%=1000（人）,
∴本次抽查的中学生有1000人. （4分）
（3）∵8× =2.08（万人），
∴该市中学生患“中度近视”的约有2.08万人.
∵10× =1.04（万人），
∴该市小学生患“中度近视”的约有1.04万人. （6分）
六、解答题（每小题7分，共14分）
23�解：（1）把A（3，0）代入y=ax2-x- 中，得a= .（2分）
（2）∵A（3，0），
∴OA=3.
∵四边形OABC是正方形，
∴OC=OA=3.
当y=3时， ，即x2-2x-9=0.
解得x1=1+ ，x2=1- <0（舍去）. （5分）
∴CD=1+ .
在正方形OABC中，AB=CB.同理BD=BF.
∴AF=CD=1+ ，
∴点F的坐标为（3，1+ ）. （7分）
24.（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB=DC.
又∵DF=DC，
∴AB=DF.
同理EB=AD.
在平行四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC.
又∵∠EBC=∠CDF，
∴∠ABE=∠ADF，
∴△ABE≌△FDA.（4分）
（2）解：∵△ABE≌△FDA，
∴∠AEB=∠DAF.
∵∠EBH=∠AEB+∠EAB,
∴∠EBH=∠DAF+∠EAB.
∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°.
∵∠BAD=32°，
∴∠DAF+∠EAB=90°-32°=58°，
∴∠EBH=58°. （7分）
七、解答题（每小题10分，共20分）
25�解：（1）设y甲=k1x，把（6，120）代入，得k1=20，∴y甲=20x.
当x=3时，y甲=60.
设y乙=k2x+b，把（0，30），（3，60）代入，得b=30,
3k2+b=60.
解得k2=10，
b=30.
∴y乙=10x+30. （3分）
（2）当x=8时，y甲=8×20=160，
y乙=8×10+30=110.
∵160+110=270>260，
∴当x=8时，甲、乙两班植树的总量之和能超过260棵. （6分）
（3）设乙班增加人数后平均每小时植树a棵.
当乙班比甲班多植树20棵时，有6×10+30+2a-20×8=20.
解得a=45.
当甲班比乙班多植树20棵时，有20×8-(6×10+30+2a)=20.
解得a=25.
所以乙班增加人数后平均每小时植树45棵或25棵. （10分）
26．解：（1）由题意，得 解得
∴C（3, ）. （1分）
（2）根据题意，得AE=t，OE=8-t.
∴点Q的纵坐标为 (8-t)，点P的纵坐标为 t，
∴PQ= (8-t)- t=10-2t.
当MN在AD上时，10-2t=t，∴t= . （3分）
当0<t≤ 时，S=t(10-2t)，即S=-2t2+10t.
当 ≤t<5时，S=(10-2t)2，即S=4t2-40t+100. （5分）
（3）当0<t≤ 时，S=-2（t- ）2+ ，∴t= 时，S最大值= .
当 ≤t<5时，S=4(t-5)2，∵t<5时，S随t的增大而减小，
∴t= 时，S最大值= .
∵ > ，∴S的最大值为 . （7分）
（4）4<t< 或t>6. （10分）
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