已知矩阵A的特征值为1,3,2;求A^-1,I+A的特征值

Question

请说明过程,谢谢

Answer 1

A^-1的特征值是1/1,1/3,1/2。
I+A的特征值是1+1,1+3,1+2。

将矩阵A代入一个多项式,得到一个新的矩阵B，即
B=f(A)=an*A^n+an-1*A^(n-1)+...+a1*A+a0*I
设A有特征值λ，那么B就有特征值f(λ),而且对应的特征向量不变。

这个结论很有用，严格的证明要用《矩阵论》。《线性代数》中好像也有证明，
比如：
设A的特征向量为α，有Aλ=λα
（A+I）α=λα+α=(λ+1)α
但是仔细推敲是不严格的。你就背下结论直接用吧，很有用的。

Answer 2

记B=diag{1，3，2}，求逆再对角化就是A^-1的特征值，1+A同理