一个光学的题目 平面镜折射（不是最简单的那种题目）

Question

两平面镜M1和M2夹一很小的角西塔，当一根光线从M1的A点以垂直与AB的方向射到M2上，如图所示，如果这根光线经过100次来回反射后仍然跑不出两镜面，则西塔角不能超过多少？（其中AB=1mm，AC=5cm）

答案是10的-6次方弧度

Answer 1

这道题目用数学方法解，太难了。。。。

但是用物理方法超级简单。

这两面镜子，和镜子的像，和镜子的像的像，和镜子的像的像的像……组成一个辐射状的东西，每两个辐射面之间的夹角都是西塔

如图

图中最左边的红色线和黑色线代表两面镜子，后面的红、黑、红、黑的辐射线代表的是镜子的像、二重像、三重像。

那么绿色线代表光线，很明显，光线在镜子间来回反射，就相当于光线在穿过这些多重像

这里利用了光学知识，从物体发出的光，经过反射后，相当于其像发出的光，满足直线传播。光经过反射虽然不走直线，但是在像构成的空间里，它还是走了直线。

那么好，我们要解决的问题其实就是，这个光线什么时候离开这个圆，要求离开的时候，正好是第101个红色线。

满足如下方程

设圆的半径是Rcm

(R-1)tanθ = 5 (这是看图中黄色的小的三角形)

Rcos(200θ)=(R-1) (这是看最大的三角形ABC)

联立消除R，解方程就好啦

如果角度非常小，可以使用近似。

tanθ 约等于 θ

cos(200θ) 约等于 1-（200θ)^2 / 2

联立方程化简得到

20,000θ^2 + 100,000θ^2 - 1 = 0

解得即可。答案取正的那个

Answer 2

与其说这是个物理题目，还不如说这是个数学题目

此题需要用的数学知识包含三角函数、相似三角形和数列

一个启发性的思路，当θ足够小的时候
我们认为
sinθ=θ,cosθ=1,tanθ=sinθ/cosθ=θ

下面用数列算出光线在M1上的移动距离即可！

Answer 3

解答如图所示，以从A点垂直发射表示第0次反射。