一、选择题
1.设实数a、b、c、d满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1，则a、b、c、d四个数( ).
A.必全为正实数
B.至少有一个负数
C.有且只有一个负数
D.以上都不对
2.已知△ABC三内角的弧度数为A、B、C，对应边长为a、b、c，记，则( ).
A.
B.
C.
D.
3.三个正实数a、b、c满足a2-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0，下列说法正确的是( ).
A.以a、b、c为边长的三角形必为钝角三角形
B.以a、b、c为边长的三角形必为直角三角形
C.以a、b、c为边长的三角形必为锐角三角形
D.不存在以a、b、c为边长的三角形
4.由不全相等的正数xi(i=1，2，…，n)形成n个数：，，…，，，关于这n个数，下列说法正确的是( ).
A.这n个数都不大于2
B.这n个数都不小于2
C.至多有n-1个数不小于2
D.至多有n-1个数不大于2
5.已知三个正实数a、b、c满足a2+b2=c2·n是大于1的正整数，记当m＞n(m为正整数)时，有( ).
A.f(m)＞f(n)
B.f(m)＜f(n)
C.f(m)=f(n)
D.f(m)≥f(n)
6.设a、b、c、d都是正实数，下列三个不等式：
a+b＜c+d， ①
(a+b)(c+d)＜ab+cd， ②
(a+b)cd＜ab(c+d). ③
其中能同时成立的不等式至多有( )个.
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题
7.已知f(x)=x2+bx+c.若|f(1)|＜.|f(2)|＜，则f(3)的取值范围为_____________.
8.实数a、b、c、d同时满足下列三个条件.
①d＞c；②a+b=c+d；③a+d＜b+c.
则a、b、c、d的大小顺序为_____________.
9.已知x、y、z均为实数，且，则|xyz|的最小值为__________.
10.已知a、b、c是某三角形三边的长.记p=(a2+b2+c2)2，q=2(a4+b4+c4)，则p与q的大小关系为________________.
11.用max{a，b，c}表示a、b、c三数中的最大者.若，，，其中x、y为正实数，，则max{a，b，c}=___________.
12.设△ABC三边长为a、b、c，且a+b+c=2，则a2+b2+c2+2abc与2的大小关系为________.
三、解答题
13.已知f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，三个正数p、q、r满足p+q+r=1，三个实数x1、x2、x3互不相等.求证：
pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)＞f(px1+qx2+rx3).
14.已知x，y，z∈R，且x+y+z=0.
求证：6(x3+y3+z3)2≤(x2+y2+z2)3.
15.记p=λ(a4+b4+c4)+μ(a2b2+b2c2+c2a2)，当a=b=c＞0或a=b＞0，c=0时，都有p≥0.
求证：当a、b、c为任意三角形三边长时，有p≥0.
参考答案
一、选择题
1.由a+b=c+d=1，得1=(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc，
∴ad+bc=1-(ac+bd)＜0.
故a、b、c、d中至少有一个负数，当a=-1，b=2，c=-2，d=3时满足题意，故选B.
2.由a＜b+c，得2a＜a+b+c.
∴
同理，.
∴
又
∴故选B.
3.由题设得
∴
∴，
∴c＞a.
而，
∴a+b＞c.故a、b、c是某一三角形三边的长.
，故选A.
4.∵，
∴这n个数之和可写成
由于xi(i=1，2，…，n)不全相等，
因此故A错.
取xi=i(i=1，2，…，n)知B错，
取xi=i+1(i=1，2，…，n)知C错.故应选D.
事实上，取，x2=x3=…=xn=1，满足D.
5.由a2+b2=c2设a=ccosθ，b=csinθ，
则，
∴
先比较f(n)与f(n+1)的大小；
∵[f(n)]n(n+1)-[f(n+1)]n(n+1)
=(sinnθ+cosnθ)n+1-(sinn+1θ+cosn+1θ)n＞(sinnθ+cosnθ)n+1-(sinnθ+cosnθ)n
=(sinnθ+cosnθ)n(sinθ+cosθ-1)
，
(∵，∴)，
∴f(n)＞f(n+1).
∴f(n)＞f(n+1)＞f(n+2)＞…＞f(m)，
故选B.
6.当cd≤ab时，
若①成立，则，
即③成立.
假设此时②成立，则有
(a+b)2＜(a+b)(c+d)＜ab+cd≤2ab.
∴，矛盾.
故①、③成立时，②一定不成立.
当cd＞ab时，
若③成立，则，∴①成立.
假定此时②成立，由③得
∴
∴，矛盾.
即③成立时，②必不成立.
综上，①、②、③中至多有2个成立，故选C.
二、填空题
7.
∴f(3)=9+3b+c=(1+b+c)+2b+8.
=f(1)+2f(2)-2f(1)+2
=2f(2)-f(1)+2.
由，
8.由③得0＜d-c＜b-a，∴a＜b.
由②得2a＜a+b=c+d＜2d，∴a＜d.
由
由③得b-d=c-a＞0，∴b＞d.
∴a、b、c、d四数的大小顺序为a＜c＜d＜b.
9.设，，，则a+b+c=1，且，，
∴，
当且仅当x2=y2=z2=2时，取“=”号.
∴，即|xyz|的最小值为
10.q-p=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2
=(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-4a2b2
=(a2+b2-c2)2-(2ab)2
=[(a+b)2-c2][(a-b)2-c2]
=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)＜0.
∴q＜p.
11.
同理
设，当0＜t1＜t2时，
∴f(t1)＜f(t2)，
即f(t)在(0，+∞)上为增函数.
由知1＜tanθ＜tan2θ，
∴f(1)＜f(tanθ)＜f(tan2θ)，
即a＜b＜c.
∴max{a，b，c}=c.
12.a2+b2+c2+2abc-2
=(a+b+c)2-2ab-2bc-2ca+2abc-2
=2(1-ab-bc-ca+abc).
∵∴0＜a＜1.
同理，0＜b＜1，0＜c＜1，
∴(1-a)(1-b)(1-c)＞0.
∴a2+b2+c2+2abc＜2.
三、解答题
13.pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)
，
∴pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)-f(px1+qx2+rx3)
=apq(x1-x2)2+apr(x1-x3)2+aqr(x2-x3)2＞0.
∴pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)＞f(px1+qx2+rx3).
14.设x=rcosθ，y=rsinθ，
则z=-r(cosθ+sinθ).
当r=0时，原不等式显然成立；
当r≠0时，原不等式等价于证明
6[cos3θ+sin3θ-(cosθ+sinθ)3]2≤[cos2θ+sin2θ+(sinθ+cosθ)2]3，
即证25sin32θ+15sin22θ-24sin2θ-16≤0，
即证(sin2θ-1)(5sin2θ+4)2≤0.
此不等式显然成立，∴原不等式得证.
15.当a=b=c＞0时，；
当a=b＞0，c=0时，
(1)当λ≥0时，
p=λ(a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2)+(λ+μ)(a2b2+b2c2+c2a2)
；
(2)当λ＜0时，
p=λ(a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2)+(2λ+μ)(a2b2+b2c2+c2a2)
=λ[(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-4a2b2]+(2λ+μ)(a2b2+b2c2+c2a2)
=λ(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)+(2λ+μ)(a2b2+b2c2+c2a2).
∴p≥0.
3、不等式>0的解集是 ( )
A．[2，3] B。（2，3） C。[2，4] D。（2，4）
[答案]C
参考资料：来自《中学数学教学参考》