线性代数: 矩阵的Jordan标准型有什么应用?

Question

矩阵的对角化，用处很明显，例如求A^20方的时候把A对角化为P(-1)BP，那么指数运算就变得很容易了，P(-1)和P能消元，B^20也容易得到，就是对角线的所有元素的20次方。

那么矩阵的Jordan标准型有什么实际的作用呢? 相似于分块对角矩阵能带来什么好处和特性?

还请大虾指点一下，谢谢！！！！！！

Answer 1

矩阵的对角化很有用，但是许多时候矩阵不能对角化。这时候相似变换的最好结果就是Jordan标准型的形式。矩阵的Jordan标准型的用处就在于矩阵不能对角化的时候利用Jordan标准型这种最简化的结果来做题。证明关于一般方阵（不能保证对角化）的某些命题，需要用到Jordan标准型。

Answer 2

算一下rank(a-e)^2，如果为0，则是两个2阶的，如果为1，则是一个1阶一个3阶。也可以用λ-矩阵方法，都是理论上的，实际操作都很麻烦。
回答补充：对的，不然不能将a化0。